Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с импульсными воздействиями

• Автор: Филиппова, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 130 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Функционально-дифференциальное включение с отображением, не обладающим свойством выпуклости по переключению значений, и с
импульсными воздействиями
§ 1.0. Основные определения и вспомогательные утверждения
§ 1.1. Основные свойства обобщенных решений импульсного
функционально-дифференциального включения с отображением, не обладающим свойством выпуклости
по переключению значений
§ 1.2. Априорная ограниченность и оценки обобщенных
решений задачи Коши для функционально-дифференциального включения с отображением, не обладающей свойством выпуклости по переключению значений,
и с импульсными воздействиями
§1.3. Обобщенные квазирешения и принцип плотности для обобщенных решений функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями 78 Глава 2. Управляемая импульсная система, зависящая от параметров, с фазовыми ограничениями
по управлению и запаздыванием
§2.1. Основные свойства допустимых пар управляемой
импульсной системы, зависящей от параметра, с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием 86 § 2.2. Оценки фазовых траекторий управляемой импульсной
системы с параметром, фазовыми ограничениями
по управлению и запаздыванием
§ 2.3. Непрерывная зависимость фазовых траекторий задачи
Коши для управляемых импульсных систем с фазовыми ограничениями по управлению и запаздыванием
от параметров и начальных условий
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Rn - п -мерное пространство вектор-столбцов, с евклидовой нормой | • |; eomp[Rn] - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых подмножеств пространства Шп;
X - нормированное пространство с нормой || • ||х;
Вх{х,е) - открытый шар пространства X с центром в точке х G X и радиусом е > 0;
Px[x',U] - расстояние от точки х £ X до множества U в пространстве X; h^[Ui U] = sup рх[х, U] - полуотклонение по Хаусдорфу множества U С

С X от множества U в пространстве А":
hx[Ui- U] — max{/i£[[/i; С/]; h^[UUi]} - расстояние по Хаусдорфу между множествами U и U в пространстве X;
сотр[Х] - множество всех непустых компактов пространства X;
2х -множество всех непустых ограниченных подмножеств пространства X; С,7'[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а,Ь] —> R” с нормой IIжIIс-1 = тах{|ж(£)| : t £ [а, 6]};
D п[а,Ь] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [a, b] —» R"

с нормой ЦжЦв"^] — |ж(а)| + / |®(s)| ds;

р - мера Лебега; U С [а, 6] - измеримое множество р{Ы) > 0;
Ln(U) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : U —> R" с
нормой 11Ж || £"(£/) = / |a;(s)|ds;

L"{U) - пространство суммируемых функций х : U —> Rn с р-ой степенью
и нормой ||«c||l"(w) — ( / |ж(s)

Sw(Ln[a, b]) - множество всех ограниченных замкнутых выпуклых но переключению подмножеств пространства Ln[a, 6];
Q(Ln[a, b}) - множество всех непустых замкнутых ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Lп[а,Ь];
Q,(Sw(Ln[a, 6])) - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств пространства Lп[а, 6]; fi((2(Ln[a, 6])) - множество всех выпуклых ограниченных замкнутых подмножеств пространства Lп[а, 6];
C^fo, b] (L^[a, b}) - конус неотрицательных функций пространства

С1 [а, Ъ (Ь'М);
Ьк Е [а,Ь] (а < tl < ... < Ьт < Ь) - конечный набор точек;
С [а, Ь] - множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, ^], (^1,^2], •••, ограниченных функций х : [а,Ь] —» Жп, имеющих пре-
делы справа в точках к = 1,2,..., т, с нормой ||ж||£пга щ = эир{|ж(^)| :
г е [а,Ь]};
~1 ~1 С+[а, Ь] множество неотрицательных функций пространства С [а, Ь];

С [а, т] пространство функций х : [а, т] —» Жга, являющихся сужениями па отрезок [а, т] (т £ (а, Ь]) элементов из С [а, Ь] с нормой 1М|£,1[ат] = = §ир{ |ж(^) | : £ £ [о, г]};

вгпФ совокупность всех элементов вида у — 'фф х{^)хг, где хг Е Ф,

I - любое натуральное число, а произвольные измеримые множества Ы{. г = 1,1, осуществляют разбиение отрезка [а, Ь], т. е. Ыг П Щ = 0 при г ф j

и и и, = [ а, Ь], х(') _ характеристическая функция;

ЖПФ - замыкание множества бтхФ в пространстве Ь"[а, Ь].

Действительно, пусть т/l, у2 G йтнФ и представимы в виде равенства (1.0.7). Тогда из выпуклости множества Ф С Lп[а,Ь и равенства

Ат/1 + (1 - А)т/2 = nUj)(Xxl + (1 - A)æf)

для любого Л G [0,1] справедливо включение At/i + (1 — Л)у2 G йтвФ. Таким образом, множество зшФ выпукло.
Замечание 1.0.4. Если множество Ф G Q (Lrt[a, b]), то построение вгиФ эквивалентно нахождению измеримого ограниченного суммируемой функцией отображения : [о, b comp[R"], удовлетворяющего
равенству (1.0.9) (см. замечание 1.0.3). Отметим, что во многих случаях построение такого отображения проще, чем нахождение множества 1Гй7Ф. В то же время для установления метрических соотношений между множествами Фх, Ф2 С Ln[a, 6] и их выпуклыми по переключению оболочками (см. лемму 1.0.5) удобнее пользоваться определением выпуклой по переключению оболочки множества.
Л е м м а 1.0.6. Пусть v G ~Ln(U), (U С [a, 6]), множество Ф С L"[a,b] выпукло по переключению. Тогда для любых измеримых непересекающихся множеств U,U2 С U, удовлетворяющих условию 1Л U W2 — £■/; справедливо равенство
Pl"(M)[«> Ф] = Pl"(Wi)K Ф] + Pl"(m2)[«> Ф]- (1.0.10)
Действительно, пусть е > 0 и у G Ф удовлетворяет неравенству 11« — 2/||l"(M) Ф] + е■ Из последней оценки вытекает, что
PL"(МОК Ф] + Pl»(M2)[«i Ф] < ||v - уЦь^Мх) + 11« - у||ь»(мо < PL»(M)[«. Ф] + е-Отсюда получаем соотношение
PL"(M!)[«) Ф] + PLn(M2)[«i Ф] ^ PL"(m)[«i Ф]- (1.0.11)
Далее, докажем противоположное неравенство. Пусть уг G Ф|м,| г = 1,2, где Ф|иг— множество всех сужений отображений из Ф на Ui, г = 1,2, такие, что
11« - Уг||ьп(м0 < PLn(Mi)[«>Ф] + 2> г —1,2. (1.0.12)