Специальные конструкции рядов и их применение для представления решений нелинейных уравнений математической физики

• Автор: Филимонов, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 265 с. : ил.

Обозначения

Глава 1. Метод специальных рядов

§ 1.1. Применение рядов при решении дифференциальных уравнений

1.1.1. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами

для обыкновенных уравнений

1.1.2. Ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами

для уравнений с частными производными

§ 1.2. Специальные ряды по степеням универсальных базисных

функций

1.2.1. Формальное построение решения в виде специального

ряда по степеням одной базисной функции

1.2.2. Кратные специальные ряды
1.2.3. Кратные ряды К* для многомерных областей
§ 1.3. Специальные ряды с функциональным произволом
1.3.1. Ряды N1 с функциональным произволом
1.3.2. Ряды Кд с функциональным произволом для многомерных областей
§ 1.4. Специальные ряды по степеням обобщенных базисных
функций
1.4.1. Обобщенные базисные функции :
1.4.2. Рекуррентность нахождения коэффициентов ряда
§ 1.5. Примеры применения специальных рядов Кд

1.5.1. Представление рядами К* решений обобщенного уравнения Кортевега-де Фриза
1.5.2. Исследование сходимости рядов Кг для решения обобщенного уравнения Буссинеска
1.5.3. Исследование сходимости рядов Кх для нелинейного уравнения фильтрации
1.5.4. Представление специальными рядами Кх решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неаналитическими начальными данными
1.5.5. Применение метода специальных рядов для построения решений уравнения нестационарных околозвуковых течений газа
§ 1.6. Результаты численного эксперимента по нестационарному
околозвуковому обтеканию клина
Глава 2. Согласованные специальные ряды
§2.1. Применение согласованных специальных рядов для представления решений нелинейных уравнений с частными производными
2.1.1. Согласованные базисные функции
2.1.2. Согласованные БФ с функциональным произволом
2.1.3. Представление согласованными рядами Кг решений нелинейных уравнений типа Ковалевской с неаналитическими начальными данными
§2.2. Решение нелинейных уравнений с особенностями
2.2.1. Представление согласованными рядами решений нелинейных уравнений, имеющими особенности .
2.2.2. Представление согласованными рядами решений стационарного уравнения потенциала скорости

§ 2.3. Глобальная сходимость согласованных рядов с функциональным произволом
§ 2.4. Специальные ряды, согласованные с точным решением
2.4.1. Построение решения уравнение нестационарной фильтрации в виде специального ряда, согласованного с точным решением
2.4.2. Исследование сходимости специального ряда, согласованного с точным решением
Глава 3. Представление решений начально-краевых задач для нелинейных волновых уравнений с нулевыми граничными условиями
§3.1. Применение специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных уравнений с точным удовлетворением краевых условий
3.1.1. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения специальными двойными рядами, согласованными с начальными условиями
3.1.2. Представление решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения согласованными рядами
3.1.3. Результаты численных расчетов по представлению согласованными рядами решения начально-краевой задачи для нелинейного волнового уравнения
§ 3.2. Применение кратных специальных рядов для представления начально-краевых задач для нелинейных двумерных волновых уравнений

ний. Непосредственный перенос этих рассмотрений па уравнения в частных производных невозможен.
Метод специальных рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами, разработанный для представления решений нелинейных уравнений в частных производных, наиболее близко в идейном плане примыкает к идее представления решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений рядами по степеням функций, определяемых в свою очередь из других уравнений. Например, такие подходы рассматривались А.М. Ляпуновым. В этом случае также получаются ряды с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами. Так в 1892 году А.М. Ляпунов [67] общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений
х, = *х,+ Y,
r«i Н—hm„>2
£s(0) = ж5о> q= const, S = 1,П. представил в виде сходящихся рядов
xs = us + ]Г Klmь- ^п)ит ... ишп)
тЦ Ьт„>2
где через и$ обозначено решение соответствующей линейной системы
us — as exp (АД), as, А|Шь'"’т”) = const.
Сходимость этих рядов была доказана при всех t > 0 в предположении, что As < О и miAi + ■ • • + тпп — As ф 0 . В этом случае коэффициенты ,тп) нах0дЯТСЯ рекуррентно, поэтому функции us можно назвать базисными (в нашем понимании).
Другим примером рядов с рекуррентно вычисляемыми коэффициентами, используемых для представления решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, является результат, приведенный в 1979 году в монографии Н.П. Еругина [35], касающийся переразложеиия решения