О промежутках единственности решений многоточечных краевых задач

• Автор: Аль-Джоуфи Салах Али Салех
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 135 с.

ГЛАВА I. Законы распределения нулей решений уравнения Ь[х] = 0 в терминах докритических промежутков краевых задач
Валле-Пуссена
§ 1Л. О нетривиальных решениях краевых задач
§ 1.2. Вспомогательные леммы
§ 1.3. Теоремы о соотношениях между докритическими
промежутками краевых задач
§ 1.4. Теоремы об условных соотношениях между
докритическими промежутками
Глава II. Законы распределения нулей решений и их
производных уравнения Т[х]
§ 2.1. Предварительные леммы
§ 2.2. Теоремы о соотношениях между докритическими
промежутками краевых задач неваллепуссеновского типа
ГЛАВА III. Оценки промежутков единственности решений
краевых задач
§ 3.1. Связь между краевыми задачами и интегральными
уравнениями
§ 3.2. Функция Грина трехточечной краевой задачи
§ 3.3. Однозначная разрешимость краевых задач с
фиксированными точками
§ 3.4. Оценки собственных значений трехточечных
краевых задач
Литература

Диссертация посвящена законам распределения нулей решений линейного однородного дифференциального уравнения пятого порядка в терминах докритиче-ских промежутков многоточечных краевых задач Валле-Пуссена и задач невалле-пуссеновского типа.
Краевые задачи
Чх1г xv-g Х1у - £з (1)хИ - £2 (1)х" - £, (Г)х' -ёо^)х = 0, (0.0.1)
= X = х"(71) = хт’(71) = х(72) = 0, а<1]<12, (0.0.2)
X = X = х'(12 ) = х"(12 ) = Х*(* 2 ) = 0, а<1]<12, (0.0.3)
X = X = хД/,) = х(12) = х'(72) = 0, а<1, < 12, (0.0.4)
X = X = х(12 ) = х'(*2 ) = хг2 ) = 0, а<г, < ь, (0.0.5)
X — X = х"(1,) = х(72 ) = х(/3) = 0, а — и < Ь < < (0.0.6)
X = X = х(г3) = х'(*з) = х'(/3) = 0, а < // < 72 < , (0.0.7)
X = х II к. /—N ю II к /—ч К) II * ;? II о а < 1/ < (0.0.8)
X = х' = х(72) = х'(72) = х(73) = 0, а<Ь<Ь<Ь (0.0.9)
X = х' = х(72) = х(73) = х'(73) = 0, (0.0.10)
X = X = х'(72 ) = х(^3 ) = Х'(Н ) = а <7, <Ь<13> (0.0.11)
X = X = х(*2) = х(?3) = х(74) = 0, Я 5:7/ <:' 12<~ <:~ /./ , (0.0.12)
X = X = х'(*2) = х(.Н) = х(и) = °> а.^1<12<{2<14, (0.0.13)
X = х = х(73 ) = х'(13) = х(14 ) = 0, а X = X = х(73) = х(*4) = х'(74) = 0, а < 0 < 7г < (з < и, (0.0.15)
X = X = х(73) = х(г4) = х(г5) = 0, a где в краевых условиях заданы значения функции и последовательных её производных, называются краевыми задачами Валле - Пуссена в отличие от краевых задач для уравнения (0.0.1) с краевыми условиями
х(?1) = х'Д,) = хД?]) = хДД) = х'(?2 ) = 0, а <0 < 4 (0.0.17)

- х(?2 ) - х'(/2 ) = х"(?2 ) - х"{{2 ) - 0, a = х'Ч ) = х"(^) = х(4 ) = х'(?з ) = 0, а < // < 4 < 4 (0.0.19)
= х(/2 ) = х’(/2 ) = х"(?2 ) = ХЦ ) = Ч, а<0<4<4 (0.0.20)
= х(?2 ) = х'((2 ) = х"(/2) “ х(4 ) = 0, а ч = х(?2 ) = х(?з ) = х'(?з ) = х"(Ч) = 0, Я<0<4<4 (0.0.22)
= х'(?1) = х(?2 ) = х'(?2 ) = Х'(Ч ) = а = Х(Ч ) = х'Ч2 ) = х(?з ) = х'(?з) = 0, а ч) = х'(Ч ) = х(Ч ) = *0з ) = х'(4 ) = 0, а t] = х(/2 ) = х'(г2) = х(Ч) = х'(4) = 0, а<г,<12<13<14, (0.0.26)
= х(Г2 ) = х(ц ) - х'(г3) - х'(?4) = 0, а < 0 < 4 < 4 < 4 (0.0.27)
ч = х(^2 ) = х(?з) = х(Г4) = х'((4) = о, а < 4 < 4 < 4 < 4 (0.0.28)
ч = х(?2 ) = х(г‘з ) = х'(?3) = х(?4 ) = 0, 0*^:1] Х 1) Х 4 Х 4 (0.0.29)
ч = х(Г2 ) = х'Ч2 ) = х(?з) = х(?4) = 0, <3<4<4<4<4 (0.0.30)
ч = х(?2 ) = х(/3 ) = х(/4 ) = х'Ч5 ) = о, a ч = х(^2 ) = х(/3 ) = х(?4 ) = х(?5 ) = 0, а < 4 < 4 < 4 < 4 < 4,(0.0.32)
где в одной из крайних точек (слева или справа) задано только значение первой производной функции. Такие краевые задачи условно называются задачами неваллепуссеновского типа. Коэффициенты gl(t), gAt), ёАЧ< gЛf) считаем непрерывными в промежутке [а, +оо).
Вопрос о законах распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения соприкасается со многими исследованиями по теории и практике дифференциальных уравнений. В частности, таковыми являются: Исследования по дифференциальным и интегральным неравенствам,которые в свою очередь приводят к теоремам об оценках решений дифференциальных уравнений, позволяющим строить эффективные методы приближенного решения дифференциальных уравнений и краевых задач;Оценки промежутков единственности решений краевых задач (промежуток применимости теорем о дифференциальных неравенствах),

¥оз(*з^) ¥04(/зd)
¥n(hJ) ¥u(hA)
¥02(^3’fl) ¥04(^3’)
¥n(h’h) ¥u(hA)
, HMi):
¥о2^ъ^) ¥oi(h’h) ¥n(hJ) ¥з(Н¥)
Тогда однопараметрическое семейство решений «(1,1,2,1)-задачи» примет вид
d (1,!2’!з)

(Г2 ?i )(?з t )d(t Т2Т3)
м2 (М)~
djih’h’h)
(/2 - h)(h ~ h) d(tl,t2,tj)
w3 (/,?,) +
^з(*1’^2’^з)
uA(t,tx)
(22)
Пусть Ci = -{t2 - ?i)(?3 - ?i) . Переходим в равенстве (22) к пределу при t2 —> t. Получим:
l Г/ГЛ л _ (*3 -*l) V^Ol (^1 d 5^3) ... (t „
И "1121V9^l)_ 7 Г-: =7 2 v > ^1) ~
¥02
(h -t)¥oi(.ti’h)ß(.t’h)„ (t. л , V'oiMiMMs).. „ , X ’“3 v>4/ "* 7 v 7 =rM4V5M^9
У'огСМЖМз)
где ?з - предельное положение /3 при t2 —> t. Отсюда, переходя к пределу при Ц —> t], находим:
_lim lim Wxnx(t,tx) = C{tx)u/[(t,tx), C(tx) =
¥02( hd) Используя формулы - (1.2.7), (1.2.9), (1.2.11), (1.2.13), будем иметь: C{t) = 12, т.к.
¥о) = !> ¥02(^i) = !> KMi) = “> (p(dd) =
Итак, нетривиальное решение «(1,1,2,1) - задачи» вырождается в нетривиальное решение W^t, 11) = 12 Ui,{t, ?i) «(4,1) - задачи». Отсюда и из по-