Задача Дирихле для многомерных эллиптических систем уравнений второго порядка

• Автор: Халилов, Шавкат Бобоевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 223 с.

Оглавление
Введение |;

1 Вспомогательные сведения

1.1 Теория ньютоновых потенциалов и эллиптические уравнения

1.2 Эллиптические по Петровскому системы уравнения в частных производных

2 Задача Дирихле для эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными главными частями
2.1 Общее представление решения систем с симметричной главной части без младших членов

2.2 Задача Дирихле для модельной системы с постоянными коэффициентами

2.3 Задача Дирихле для модельной системы с переменными коэффициентами

2.4 Задача Дирихле для системы (2.0.1) с постоянными коэффициентами

2.5 Задача Дирихле для общей системы (2.0.1) с переменными коэффициентами

3 Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петров-
скому систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
3.1 Общие представления решений модельных систем
3.2 Решение задачи Дирихле для модельной системы (3.0.1) в полупространстве я .
3.3 Решение задачи Дирихле для системы (3.0.1) в ограниченной области
3.4 Решение задачи Дирихле для системы (3.1.1) в шаре
3.5 Задача Дирихле для системы (3.0.3)
3.6 Задача Дирихле для системы (3.0,4)

4 Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с переменными коэффициентами
4.1 Задача Дирихле для системы (4.0.1) в произвольной ограниченной области
4.2 Задача Дирихле для системы (4.0.2)
4.3 Задача Дирихле для системы (4.0.3)

Введение
Актуальность темы. В 1937 году И.Г.Петровский [30] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, называемых теперь эллиптическими по Петровскому. Решения таких систем обладают многими свойствами, характерными для решений одного эллиптического уравнения. Например, все регулярные решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 году А.В.Бицадзе [4] построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которого нарушалась нетеровость задачи Дирихле. В связи с системой Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем возник вопрос классификации граничных задач по характеру их разрешимости. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем ие всегда нетеро-вы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Вскоре такие дополнительные ограничения нашел М.И.Вишик [10]. Он усилил условия эллиптичности по Петровскому требованием сильной эллиптичности, то есть либо положительной, либо отрицательной определенностью симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы по характеру ,разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то есть эти задачи всегда петеровы.
Задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем была сформулирована в совместном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Е.Шилова на III Математическом съезде в 1956 г. [12], и там же была подчеркнута важность исследований несильно эллиптических систем.
Исследованиям краевых задач для несильно эллиптических систем посвящены работы известных ученых А.В.Бицадзе [3]- [4], А.И.Янушаускаса [51]- [62], А.Д.Джураева [16], Ю.Т.Антохина [1], М.З.Соломяка [40],

где <р£х) - регулярные в области Б решения уравнений Бр = 0, 3 = 1 ,п и -ф(х) - произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в области Б функция, а П(х,у) функция Грина задачи Дирихле в области Б для уравнения Ьи = 0. Функции р>з{х) и ф(х) связаны между собой соотношением: "
В §4.1 исследуется задача Дирихле для системы (0.0.13) в произвольной ограниченной области с лянуповской границей. Используя функции Грина для уравнения Лапласа и представление гармонической функции через ее граничное значение, задача Дирихле сводится к интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода. Доказывается, что если область О не имеет пересечения с множеством нулей функции А(х’) — 1 и 5 пе имеет пересечения со множеством нулей функций А(ж) — 2, то задача Дирихле для этой системы фредгольмова:
Пусть А у (ж) Є С2{Б) ПСД-О) и А кі{х) = ~Х(х),г к Ф А кк — А(ж).
Аналогично случаю системы (0.0.3), решение задачи Дирихле для однородной системы (0.0.19) с переменными коэффициентами сводится к определению функции р{х). Используя уравнении (0.0.48), функция р(х) выражается через произвольную регулярную в области Б гармоническую функцию Ро(х) формулой
Тогда уравнение (0.0.47) можно переписать так:
(0.0.48)

Г(х,у) - резольвента ядра