Краевые задачи для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца

• Автор: Абашкин, Антон Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Краевая задача в прямоугольной области
1.1 Постановка задачи
1.2 Построение формального решения
1.3 Существование решения задачи
1.4 Единственность решения задачи
1.5 Задачи типа Е
ГЛАВА 2. Краевые задачи в неограниченных областях
2.1 Постановка задачи типа Дирихле в бесконечной полупо.тоее
2.2 Построение формального решения задачи типа Дирихле
2.3 Существование решения задачи тина Дирихле
2.4 Единственность решения задачи типа Дирихле
2.5 Задачи тина Е в бесконечной нолуиолосе
2.6 Постановка задачи о скачке
2.7 Получение формального решения задачи о скачке
2.8 Существование решения задачи о скачке
2.9 Единственность решения задачи о скачке
2.10 Постановка задачи КО
2.11 Построение формального решения
2.12 Существование решения задачи N
2.13 Единственность решения задачи КГ)
ГЛАВА 3. Нелокальные краевые задачи в вертикальной нолуиолосе
3.1 Весовая задача тина Неймана при А < 0, ц = 0. Постановка задачи
3.2 Единственность задачи N
3.3 Существование решения задачи N
3.4 Весовые задачи типа Дирихле при А > 0. ц = 0. Постановка задач
3.5 Построение формального решения задач М1 и М2.
Единственность решения задачи М
3.6 Существование решения задач М1 и М
Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Предметом настоящей работы является изучение различных краевых задач в прямоугольной области, вертикальной полосе, полуполосе и в первом квадранте для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца
где /г, р, А - некоторые действительные числа, на которые в дальнейшем будут наложены необходимые ограничения.
Данное уравнение является уравнением с сингулярными коэффициентами.
Ввиду наличия многочисленных приложений, в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными значительное место занимают исследования вырождающихся уравнений, особый класс которых и составляют уравнения с сингулярными коэффициентами.
В частности, уравнение (1) имеет важное прикладное значение для изучения осесимметрических волновых процессов. Например, если перевести обычное уравнение Гельмгольца Аи + к2и — 0 в Я3 в цилиндрические координаты, то получим уравнение
Если искать не зависящие от <р (то есть осесимметрические) решения данного уравнения, то придем к частному случаю уравнения (1).
Кроме того, уравнение (.1) при ц = О, р = |, А < О описывает распространение радиоактивной эманации в атмосфере, при этом и(х,у) является концентрацией радиоактивной эманации, а А - постоянной распада
Двуосесимметрическое уравнение Гельмгольца (2ц = т — 1, 2р — п — 1) появляется, если искать монохроматические решения
и{х)у,ї) = и(х,у)е±гХі волнового оператора Даламбера А17 — ии в пространстве Дт+,г+1 с координатами (хі,...,хт,уі,...,уп), временной координатой t и частными расстояниями х2 — х + ... 4- у2 = у2 + ... + у [63, с. 203].
Уравнение (1) связано с уравнением смешанного типа

Uzz "Г щ-у + Ну З- к и — 0.
іаи33 + + Ан = 0,

а именно, если в области эллиптичности привести уравнение (2) к канонической форме, то получим уравнение (I). Многие работы (например [13], [35], [50], [55]) посвящены краевым задачам для уравнения (2) в области эллиптичности, следовательно, результаты данных работ распространяются на соответствующие краевые задачи для уравнения (1).
В случае /?, А = 0, а = 1 уравнение (1) является уравнением Трикоми, которое имеет важное прикладное значение для газодинамики ([13]).
Таким образом, актуальность изучения краевых задач для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца (1) обусловлена как его востребованностью в приложениях, так и его связью с классическими уравнениями математической физики и уравнениями смешанного типа.
Степень разработанности проблемы. Уравнение (1) было предметом многочисленных исследований, в частности, в монографии И.Р. СПЬегГа [6-3] было построено интегральное представление решений уравнения (1) при А > 0 через аналитические функции и найдена формула обращения такого представления через ряды.
Для двух частных случаев уравнения (1), когда ц = 0, р > 0 и когда А = 0, р > 0, в статье О.И. Маричева [30] построены более удобные для использования формулы обращения представления, найденного СПЬегГом.
В статье А. Хасанова [64] для уравнения (1) при А < 0 был построен ряд фундаментальных решений в первом квадранте.
Много публикаций посвящено краевым задачам для различных частных случаев уравнения (1). В 1952 году М.Б. Капилевичем в работе [23] была решена задача Дирихле в области хп > 0 для уравнения
Аи 4 иХп — Ь2и = 0, а < 1,

где Д - оператор Лапласа в К". Позже М.Б. Капилевичем было выполнено еще несколько работ в русле данной тематики ([21], [22]).
С 1958 года разработка теории краевых задач для различных уравнений с особенностями первого порядка в коэффициентах при младших производных активно велась математиками самарской школы. Начало исследованиям положила статья С.П. Пулькина [44], где были изучены две краевые задачи для уравнения

^XX ^уу “Ь ^X — Р ^ (3)

В первой задаче требуется найти решение уравнения (3), ограниченное вблизи отрезка х = 0, —Ь<у<Ья имеющее заданные значения на кривой Го с концами в точках (0,5) и (0, —Ь). Во второй задаче необходимо

имеют экспоненциальный порядок возрастания на бесконечности. Поэтому ряды, общими членами которых являются правые части неравенств (1.101) -(1.107), (1.109) - (1.115), сходятся, а значит, по признаку Вейерштрасса, ряды 5*(ж, у), г = 1,.., 14 сходятся равномерно.
Поскольку члены ряда щ(х,у), в случае его определения по формуле (1.87), начиная с номера т+ 1, имеют тот же вид, что и члены ряда (1.80), то утверждение автоматически доказано и для ряда (1.87).
Так как после некоторых переименований формулы для (1.91) и (1.92) приводятся к формулам (1.80) и (1.87), то доказываемое утверждение справедливо для ряда и2(х,у), определяемого равенствами (1.91) и (1.92).
3) Установим справедливость доказываемого утверждения для р > и ряда ( 1.86).
Ряд, равномерную сходимость которого нам нужно доказать, распадается на сумму двух рядов ^(ж, у) и з2(х, у), где
и асимптотике (1.117), функция г'/К„(г) - убывающая, поэтому справедливо неравенство
Используя формулу (1.32), данное неравенство можно переписать в виде
Проинтегрируем по частям интеграл, входящий в определение с„ (1.90), используя правило дифференцирования [28, с. 133]
Согласно формуле [28, с. 141]
(*ЧЭД)'=-г*'#,-! (г)
(1.118)
(ШР1КР1(Ш < Пт їРіКРі{г). ,2—>1)+
(ШР1КР1(Ш < 2Р1~1Г(р1).
(1.119)
(г*ад)'=
получим