Отсутствие решений некоторых эллиптических и эволюционных задач

• Автор: Тсегау Бирилеу Белайне
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с.

Содержание

Глава 1: Введение

Глава 2: Результаты об отсутствии решений для некоторых эллиптических задач

2.1. Обозначения и основной аппарат

2.2. Эллиптические неравенства с анизотропными особенностями

2.3. Системы эллиптических неравенств с анизотропными особенностями

2.4. Анизотропные эллиптические неравенства

2.5. Системы анизотропных эллиптических неравенств

Глава 3: Результаты об отсутствии решений для некоторых эволюционных задач

3.1. Обратные параболические неравенства со знакопеременными начальными данными
3.2. Обратные параболические неравенства с анизотропными особенностями

3.3. Системы обратных параболических неравенств с анизотропными особенностями

3.4. Анизотропные параболические неравенства
3.5. Системы анизотропных параболических неравенств
Список литературы

Глава
Введение
Диссертация посвящена изучению результатов об отсутствии решений для различных классов эллиптических и эволюционных задач, связанных с анизотропными особенностями и анизотропными операторами. Нашей основной целью является нахождение достаточных условий отсутствия нетривиальных решений этих задач в соответствующих функциональных пространствах. В некоторых крупных теоремах приводятся примеры, которые демонстрируют оптимальность полученных условий отсутствия решений.
В общем, все задачи, изучаемые в этой работе, могут быть условно разделены на два класса. Задачи первого класса включают в себя как анизотропные операторы, так и особые анизотропные нелинейные коэффициенты, а задачи второго класса связаны только с анизотропией особых нелинейных коэффициентов.
Диссертация состоит из введения и двух глав. Каждая глава делится на 5 разделов. Вторая глава посвящена изучению результатов об отсутствии решений для некоторого класса эллиптических задач. В этой главе эллиптические задачи с анизотропной сингулярностью и эллиптические задачи с регулярными анизотропными операторами обсуждаются по отдельности. В главе 3 мы изучаем проблемы отсутствия решений для эволюционных задач первого порядка. В отличие от эллиптических задач, здесь мы имеем начальные условия, которые влияют на отсутствие решения.
Доказательства результатов об отсутствии решений в этой диссертации основаны на методике, предложенной С. И. Похожаевым [57] и разработанной Э. Л. Митидиери и С. И. Похожаевым [49], которая опирается на метод пробных функций. Их подход существенно опирается в первую очередь на априорные интегральные оценки для возможных решений рассматриваемой задачи и на вывод асимптотики для этих оценок по отношению к какому-либо параметру, который стремится к 4-ю или к 0 в зависимости от характера задачи. Наконец, отсутствие решения доказывается методом от противного. А именно, достижение нулевого предельного значения в соответствующей априорной оценке гарантирует, что не существует нетривиального решения этой задачи.
Главной особенностью этого подхода является то, что он позволяет рассматривать слабые решения, избегая использования принципа сравнения или принципа максимума. Это представляет особый интерес при решении задач более высокого порядка или систем, где известно, что в общем случае принцип сравнения не имеет места. Интересная особенность заключаются также в том, что никакие условия не накладываются на поведение возможных решений на бесконечности. Интересным результатом такого подхода является то, что вывод априорных интегральных оценок решений может быть использован для
доказательства теорем существования. Тем не менее, в данной работе мы не будем рассматривать результаты о существовании решений.
Априорные интегральные оценки для решений выводятся на основе слабой постановки задач при специальном выборе пробных функций (из класса допустимых пробных функций), как правило, для эллиптических задач в виде:
где и - предполагаемое решение задачи, і/>й —стандартная срезающая функция (размер носителя которой зависит от параметра Д > 0) и <5 Є К. Параметр 8 является
неположительным в некоэрцитивных и неотрицательным в коэрцитивных задачах. Допустим выбор 8, равного нулю, для дифференциальной задачи, главная часть которой является линейной. В эволюционных задачах пробные функции зависят также от временной переменной I, но общая структура рассуждений аналогична.
После получения априорных интегральных оценок для решений данной задачи мы переходим к пределу при Д -> 0+ (в случае ограниченной области) или Д -> +оо (для неограниченных областей), что приводит к противоречию с предполагаемыми свойствами решения.
Известно, что значительные успехи достигнуты в исследовании задачи об отсутствии решений или, другими словами, необходимых условий существования решения дифференциальных уравнений и неравенств с изотропными особенностями и
операторами. В настоящее время существует обширная библиография, посвященная этому вопросу.
В частности, проблема существования и отсутствия решений для нелинейных эллиптических и эволюционных задач с изотропными особенностями и операторами в ограниченных и неограниченных областях широко изучались многими авторами. Один из самых известных результатов об отсутствии решений для оператора Лапласа в ограниченной области Пс1*с изотропными сингулярными коэффициентами в нуле был сформулирован X. Брезисом и X. Кабре [20].
Теорема 1.0.1: (X. Брезис и X. Кабре, 1998.) Предположим, что 0 Є О. Если и Є Цпс (П),
и > 0 почти всюду с |х|_2и2 Є Ь)ос (П) таким, что
Мы также отсылаем читателей к работам М.Ф. Бидо-Верон и С. И. Похожаева [19], Е.И. Галахова [1] и Чжана Чжиджуна [68], посвященных изучению эллиптических неравенств с оператором Лапласаи нелинейностью вида х~аич для а £ К и ц > 1. Некоторые результаты об отсутствии и разрушении решений соответствующего параболического неравенства
<р(х) = ц5(х)фд(х),
-Аи > х~2и2 в В'(П),
(1.0.1)
то и = 0.
ис - Аи > х аич
(1.0.2)

2.4. Анизотропные эллиптические неравенства
В этом разделе мы рассмотрим задачу об отсутствии решений одного класса эллиптических неравенств, связанных с анизотропными операторами. По определению, анизотропные операторы содержат производные по различным направлениям с разными весами. Задачи, связанные с такими операторами, называются анизотропными дифференциальными задачами.
Анизотропия этих задач возникает за счет роста каждой частной производной со своим показателем степени Вначале рассмотрим модельную задачу, а затем представим некоторые обобщения.
Пусть (р,) := (рі, Рз, , P/v) —вектор вещественных чисел с N > 2 и р, > 1 для всех (. На протяжении всей этой диссертации, будем использовать следующие обозначения:
р+ ■= тах [р.], р_ := min {рЛ (2.4.1)
(6(1,2, ,/vrFiJ Н 16(1,2, v
Анизотропный оператор Лапласа определяется как V-1 д (duPl~2 ди
А(., ,00- 2, ^<2А2> [=
Этот вид дифференциальных операторов может рассматриваться как обобщение стандартного оператора р —Лапласа на анизотропный случай. Очевидно, что если р, = 2 для всех і, то он сводится к хорошо известному линейнному оператору, который называется оператором Лапласа, а если р, = р для всех t, получаем оператор псевдо р-Лапласа.
Теперь рассмотрим следующую модельную задачу: Г-Д(р,)(и) > f(x)U4 , xetf
(2.4.3)
и > 0, х €
где / : -> Е+ - непрерывная функция и существуют постоянные Cf, > 0 такие, что

/М^ПкГ ^х): Iх; I — ■ У = 1.2,-, N (2.4.4)

с параметрами
д,р,,а, 6 Е, р, > 1, д > р, — 1 VI = 1,2,
В изотропном случае вопросы о существовании и отсутствии решений для аналогичных задач были широко изучены многими авторами, например, [1, 2, 10, 37, 48 и 49], тогда как в анизотропном случае, насколько нам известно, отсутствие решений такого рода задач ранее не исследовалось. С другой стороны, существуют несколько работ (например, [12, 13, 24, 25, 28, 30, 45 и 63]), где авторы изучали аналогичные задачи с точки зрения существования, единственности и регулярности решений.