К исследованию маятниковых уравнений, близких к нелинейным интегрируемым

• Автор: Королев, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 142 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Вспомогательные преобразования
1.1 Системы с одной степенью свободы
1.1.1 Переменные действие - угол
1.1.2 Решения уравнения математического маятника
1.2 Исследование автоколебательных маятниковых уравнений
1.2.1 Стандартная форма порождающего уравнения для маятниковых уравнений
1.2.2 Проблема предельных циклов
1.3 Вспомогательные преобразования для систем с 3/2 степенями свободы
1.3.1 Невырожденные резонансы
1.3.2 Вырожденные резонансы
1.4 Вспомогательные преобразования для систем с двумя степенями
свободы
1.4.1 Частично усредненная система
1.4.2 Полностью усредненная система
2 Исследование маятниковых уравнений с 3/2 степенями свободы
2.1 Невырожденные резонансы
2.1.1 Резонансы. Усредненная система
2.1.2 Предельные циклы автономного уравнения
2.1.3 Поведение решений в окрестности невозмущенной сепаратрисы
2.1.4 Численное исследование отображения Пуанкаре
2.1.5 Связь с уравнениями с двумя степенями свободы
2.2 Вырожденные резонансы

2.2.1 Существование вырожденных уровней
2.2.2 Усредненная система
2.2.3 Анализ отображения Пуанкаре вблизи вырожденных резонансов
3 Исследование маятниковых уравнений с двумя степенями свободы
3.1 Система двух слабосвязанных маятников
3.2 Исследование в колебательных областях
3.2.1 Вычисление усредненной системы
3.2.2 Исследование усредненной системы
3.2.3 Полностью усредненная система
3.2.4 Численное исследование
3.3 Исследование во вращательных областях
3.3.1 Вычисление усредненной системы
3.3.2 Исследование усредненной системы
3.3.3 Полностью усредненная система
3.3.4 Численное исследование
3.4 Исследование в колебательно-вращательном случае
3.4.1 Вычисление усредненной системы
3.4.2 Исследование усредненной системы
3.4.3 Полностью усредненная система
3.4.4 Численное исследование
Заключение
Приложение
Литература

Введение
Данная работа относится к области качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, малыми возмущениями отличающихся от консервативных нелинейных интегрируемых уравнений. Основными методами исследования подобных систем являются: метод малого параметра, разработанный А. Пуанкаре [73], метод определения устойчивости, разработанный
А.М. Ляпуновым [57], методы усреднения, развитые в работах Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [55, 61, 16], методы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем [11, 8, 77, 78].
Исследования в этой области восходят к исследованиям А. Пуанкаре, который пытался построить в рамках консервативной модели теорию нелинейных возмущений планетных движений и разработал метод малого параметра. Однако консервативные модели, как правило, неадекватно описывают исходный процесс или явление. Так, в небесной механике трудно объяснить эволюцию солнечной планетной системы без учета неконсервативных сил (солнечный ветер, приливные явления, сопротивление среды).
До настоящего времени в нелинейной динамике (теории колебаний) наиболее популярны и разработаны методы исследования квазилинейных систем. Разработке и обоснованию этих методов и приложению их к решению конкретных задач посвящена обширная литература. Укажем только основополагающие работы. Это фундаментальные работы по разработке асимптотических методов исследования нелинейных систем Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [55, 16, 61], работы Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалекси, A.A. Андронова, A.A. Витта [5, 6, 59, 71], работы Б.В. Булгакова [18, 19]. В основе этих методов лежит гипотеза о наличии порождающего решения, за которое берется решение невозмущенной системы.
Отметим, что существуют и другие методы малого параметра, определения периодических режимов, которые не предполагают наличия порождающего решения, а исходят из так называемой гипотезы фильтра [1], которая опи-

(наименьший период по V функций А0, Р0, (^0 равен 2тг/р). Функции Р0, <50 удовлетворяют условию:
то есть дивергенция векторного поля системы (1-42) тождественно равна нулю. Прежде всего рассматривают «укороченную» усредненную систему
фазовым пространством которой является цилиндр
{(и,г>)| — С < и < СЬ — 7г/р ^ V < 7Г/р},
где С — некоторая достаточно большая положительная постоянная. Эта система имеет только сложные состояния равновесия. Если 2 четное, имеем вырожденные состояния равновесия типа «клюв», если ] нечетное, имеем топологические седла и центры.
1.4 Вспомогательные преобразования для систем с двумя степенями свободы
Рассмотрим систему двух слабосвязанных осцилляторов:
гДе /ъ /2, 51) 92 — достаточно гладкие функции своих аргументов в областях из М1 и К4 соответственно, £ — малый неотрицательный параметр. Предположим, что несвязанные осцилляторы (е = 0) имеют ячейки £>!, Б2, заполненные замкнутыми фазовыми кривыми и удовлетворяющие условиям п. 1.1.1. Систему (1-47) будем исследовать в области Б х П2.
(1.46)
х + Мх) = ед1{х,у,х,у) У + Ыу) = £92 {х, у, х, у).
(1.47)