Задачи сопряжения для уравнений плоской теории упругости в слоистых областях

• Автор: Стехина, Кристина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Собственные волны упругих волноводов

1. Дифференциальные уравнения и граничные условия в задачах плоской теории упругости

2. Собственные колебания упругой полосы

3. Вычисление корней характеристического уравнения

4. Ортогональность собственных волн

5. Полнота системы собственных волн

6. Полуоткрытый упругий волновод

Глава 2. Задачи дифракции на стыке волноводов

7. Задача о возбуждении плоского упругого волновода

8. Дифракция упругой волны на стыке двух плоских волноводов
9. Дифракция упругой волны на дефекте в плоском волноводе
10. Дифракция упругой волны на стыке двух полуоткрытых волноводов
11. Приближение волноводных мод
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена задачам теории распространения и дифракции упругих волн в слоистых средах. Исследованы задачи о собственных волнах упругой полосы и полуоткрытого упругого волновода. Математические формулировки этих задач представляют собой краевые задачи для соответствующих систем дифференциальных уравнений с частными производными. Разработаны методы решения задач дифракции на неоднородностях в упругих волноводных структурах.
Изучение общих закономерностей распространения волн в различных средах составляет предмет теории колебаний, получившей в настоящее время большое развитие [12], [28], [35], [55].
Использование общих результатов теории колебаний приносит несомненную пользу при рассмотрении волновых процессов в каждом разделе физики. Однако при этом возникает большое число специфических вопросов, связанных со свойствами среды, способами возбуждения колебаний, геометрией тел и так далее, решение которых имеет, несомненно, принципиальное и прикладное значение и достигается с использование различных методов.
Как правило, изучаемые тела являются идеальными. Так в теории упругости чаще всего рассматриваются упругие изотропные однородные тела, подверженные малым деформациям. Это предположение существенно ограничивает круг рассматриваемых объектов, однако позволяет получить обширную и полезную информацию о динамических процессах в реальных телах.
В различных областях физики широко используется спектральный метод исследования волновых процессов. При таком подходе существует принципиальная возможность свести анализ поведения волн в общем случае к анализу простейших гармонических волн. Интерес к исследованию гармонических процессов обусловлен тем, что уже на промежуточном этапе удается получить важные данные о таких характеристиках

колебательных систем, как собственные формы колебаний и спектр собственных частот.
Круг практических вопросов, при рассмотрении которых в качестве модели среды используется идеально упругое тело, а в качестве модели процесса - гармоническая волна, чрезвычайно широк. Имея в виду специфику процессов, можно указать четыре основные области.
1. Сейсмология. Фундаментальная проблема в теории гармонических волн возникает здесь в связи с попытками определить свойства среды на пути распространения воли по наблюдениям на поверхности за свободными колебаниями Земли, вызванными землетрясениями.
Важной для сейсмологии задачей является изучение свойств неоднородных волноводов, а также исследование свободных колебаний Земли.
2. Акустоэлектроника. Основные задачи акустоэлектропики связаны с возбуждением и распространением высокочастотных волн в твердых телах, взаимодействием этих волн с электромагнитными полями. Из всех акустических волн наибольший интерес с точки зрения практических приложений представляют поверхностные акустические волны. Кроме того, важную роль волновые процессы в упругих телах играют в связи с задачами обработки сигналов, в частности в связи с созданием механических резонаторов и фильтров.
3. Прикладная механика. Это направление объединяет исследования гармонических волновых процессов, которые посвящены разработке прикладных приближенных методов анализа, анализу колебаний элементов конструкций, рассеянию и дифракции упругих волн.
4. Неразрушающий контроль. Во многих аспектах проблема неразрушающего контроля связана с постановкой и анализом количественных данных о распространении гармонических волн. Эти задачи возникают, например, при определении формы, объема, ориентации и расположения дефектов внутри упругого тела. Особенно сложные и интересные волновые задачи появляются в связи с использованием явления акустической

удовлетворяющие граничным условиям (2.6), (2.7),
(а4 + 712(аЬ12(а))(1 - - еш)+
+2а27!(а)72(а)(1 + е2{к)(1 + еш)~ (2.11)
-8а271(а)72(а)ег'/‘Ь(«)+72Н) = 0.
Рассмотрим также случаи, которые имеют другой физический смысл, когда одна сторона полосы свободная, то есть т(х, 0) = 0, ау(х, 0) — 0, а другая - фиксированная, свободная, скользит без трения или с трением по жесткому основанию. Проведем аналогичные действия для каждого случая и получим характеристические уравнения для определения собственных чисел распространения упругой волны в полосе, которые имеют следующий вид:
1) в случае, когда нижняя граница фиксирована, то есть их(х, к) — 0, иу(х, к) — 0,
(1 — е2*Лгу1(«))(1 __ е2г/172)((72(о:) — аг2)Да + 472(а)72(а))о:2+
+(1 + е2(°))(1 + е2г'Л72)((72(а) - а2)Да + 4/ш4)71(а)72(а)+ (2.12)
-р8егИ71(«)+7гИ)(да + /х(7|(а) — сс2))а271(а)72(а) = 0;
2) в случае, когда нижняя граница свободная, то есть <уу{х, к) = 0, т(х, к) = 0,
(е2гЛ71(а) + е1ггЛаЩа2 _ 7|(а))Да + 4а271 (а)72(а))2-
—(1 + е2г/!(71+72а)(((а2 — 7|(а))А а — 4а2/х71(а)72(а:))2— (2.13)
_32ег/!(71(а)+7г(а))(а2 _ (а))ДаО:271(о:)72(о:)/Ч = 0;