Регулярность решений квазилинейных эллиптических систем высокого порядка

• Автор: Челкак, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 145 c. : ил

I. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО
ПОРЯДКА С ОГРАНИЧЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ '
1.1. Постановка задачи. Пространство
1.2. Итерационный цроцесс. Неравенство для
последовательных приближений
1.3. Коэрцитивные оценки для оператора (-Д)
в пространстве с сингулярным весом
1.4. Регулярность обобщенного решения первой
краевой задачи
1.5. Системы, не содержащие младших
Производных
2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
2.1. Формулировка теорем. Пространство (Я*1)
2.2. Выбор пробной функции
2.3. Оценки норм функции
2.4. Некоторые свойства пробной функции.
Предварительные неравенства
тсе;
2.5. Оценка интегралов 1 с . в случае
комплексных <5-
^ -г с*;
2.6. Оценка интегралов 1 с . в случае
вещественных 6-

2.7. Сходимость итерационного процесса в пространствах
Сю(п') и С(1ч>(Х1').
Гёльдеровость Ы(х) и уи(Х)

3. ПРИМЕРЫ НЕРЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
3.1. Пример системы, имеющей решение с
разрывным градиентом
3.2. Пример системы, имеющей разрывное решение
ЛИТЕРАТУРА
Список работ, опубликованных по теме диссертации
ПРИЛОЖЕНИЕ
П.І. Доказательство леммы 2
П.2. Доказательство леммы 2,9
П.З. Доказательство леммы 2

Работа посвящена исследованию регулярности обобщенных решений квазилинейных эллиптических систем произвольного порядка с ограниченными нелинейностями.
Вопрос о регулярности решений эллиптических задач был поставлен Д.Гильбертом и сформулирован в виде одной из проблем. Первоначально проблема состояла в доказательстве аналитичности решения при аналитических данных задачи.
В случае одного нелинейного эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными С.Н.Бернштейном [I] была доказана аналитичность всех трижды непрерывно дифференцируемых решений. Позже И.Г.Петровским [2] доказана аналитичность достаточно гладких решений эллиптических систем, задаваемых аналитическими функциями.
В дальнейшем рамки проблемы были существенно расширены путем исследования не только аналитичности, но и той или иной гладкости решений рассматриваемых задач.
В работах Ч.Морри [3] - [б] получены полные результаты об аналитичности и дифференцируемости решений для систем уравнений второго порядка в случае двух пространственных переменных. В работах Ю.Шаудера [б], Е.Де Джорджи [?] , Ю.Мозера [8],Л.Ни-ренберга [9] , Дж.Нэша [ю] и ряда других математиков эти результаты были распространены на квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка с любым числом переменных. Значительная часть относящихся сюда результатов получена 0.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой и приведена в монографии [п]. Случай одного уравнения высокого порядка и систем при двух независимых переменных изучен в работах И.В.Скрыпника [12] и И.Нечаса [13], [14].

Ясно, что равенство возможно только при Д3=5, . Т.е

Наконец, в случае а) «(- $ — 1 = - б“- - 1- у . Из неравенства (2.22) следует, что цри Яеб^ < 0 будет справедливо соотношение Яебу <- (т-4-+ и, значит,
Ял(и~^-1)= >-4.
Аналогично, в случае б) из неравенства б"; < О

следуют оценки Кеб"^- ^-1-у и Яе.(о1-^-1)=
^.-1 . Лемма доказана.
Следствие. Если Яа 6^ <: О , то Я Яе бы -«;-4 <-4 э
если же Яеб’; > 0 , то <2 Яб б"' - о!! - 4 > - ± .
О О
Действительно, в случае а) леммы 2.3 из условия Яеб; <

следует, что Яе < 4- лг- у и, значит, б^--«г-4 <
< 3>-йг ^ - 4 .В случае б) из неравенства йеб^ < (!)
следует неравенство <- 4-у* и, тем самым, оценка
ZЯвG^-o^-i £ - 2 . Таким образом, при йеб"; <0
<) о
требуемое неравенство установлено. Противоположное неравенство при Яе б) > 0 очевидно.

Теперь в качестве функции ’£('1) возьмем следующее решение уравнения (2.17)

00(0= (5-5«Х5-54Х*-*зХ*“5<,),
функция £(Ч) определена равенством (2.18), а в качестве нижнего предела интегрирования взят нуль при Я6 < 0 и беско-