Исследование некоторых нелинейных управляемых процессов на конечном и бесконечном промежутках времени

• Автор: Пучкова, Алёна Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Специальная экономическая модель распределения ресурсов на бесконечном промежутке времени
1.1 Постановка задачи
1.2 Предварительные результаты
1.3 Исследование задачи (1.1) при а > и+ и т0 ^ о
1.4 Исследование задачи (1.1) в случае хо > а > и+
1.5 Принцип максимума Понтрягина
1.6 Решение краевой задачи в случае х0 > х*
1.7 Решение краевой задачи в случае .то 6 (а, х*]
1.8 Доказательство теоремы
1.9 Второй способ доказательства теоремы
1.9.1 Исследование значения функционала от управления с одной точкой переключения
1.9.2 Существование оптимального управления
1.9.3 Вид оптимального решения
1.10 Пример
1.10.1 Исследование сопряжённого уравнения (1.10)
1.10.2 Исследование управляющего режима с одной точкой переключения
1.10.3 Доказательство оптимальности построенной пары .
2 Биологическая модель, описывающая процесс роста ко-
лонии микроорганизмов
2.1 Постановка задачи. Предварительные результаты
2.2 Формулировка основного результата
2.3 Доказательство теоремы 5 при (уо,ко) Е / и ко ^ 1
2.4 Доказательство теоремы 5 для случая к0 = АДуо) (начальная точка (уо,ко) находится на линии OB)
2.5 Доказательство теоремы 5 для случая (уо,к0) Е I и
0 < к0 <
2.6 Оптимальное время в задаче быстродействия (3.6)
2.7 Дополнительные утверждения
2.8 Сравнение двух режимов управления
3 Модель ведения рыбного хозяйства
3.1 Постановка задачи со свободным правым концом. Формулировка основного результата
3.2 Принцип максимума Понтрягина. Исследование задачи на
существование особых режимов
3.3 Структура оптимального управления
3.4 Исследование управления вида (3.17)
3.5 Пример
3.6 Задача с фиксированными концами
3.7 Пример
Заключение

Введение
Физические процессы, имеющие место в технике, как правило управляемы, т. е. могут осуществляться различными способами в зависимости от воли человека. В связи с этим возникает вопрос о нахождении наилучшего в том или другом смысле или, как говорят, оптимального управления процессом. Речь может идти, например, об оптимальном управлении в смысле быстродействия, т. е. о достижении цели процесса за кратчайшее время, о достижении этой цели с минимальной затратой энергии и т. п.
В пятидесятых годах XX века многочисленные потребности прикладных дисциплин (техники, экономики, военных наук и др.) стимулировали постановку и рассмотрение нового класса задач, исследование которых привело к рождению новой науки - оптимального управления. Основы теории оптимального управления были заложены академиком Л.С. Понтрягиным и группой его учеников [1]. Теория оптимального управления получила всеобщее признание как фундаментальное теоретическое достижение и нашла широкое применение в приложениях.
Оптимальное управление охватывает обширный круг задач, в которых необходимо получить гарантированный результат наименьшими затратами. Например, задачи ядерной энергетики (управление охлаждением реактора), робототехники (движение роботов, управление всевозможными станками и автоматами), механики полета (самонаводящиеся ракеты, автопилоты, автоматическая стыковка на орбите, управление самолетом), экономики (задачи долговременного планирования), экологии (расчёт допустимого воздействия на экосистему), биофизики и т. д.
Основным объектом задачи оптимального управления является управ-

j(fr + J[u] - ,/[?./*].
Лемма 8 доказана.
Очевидно, что
K(t,x,ip{t),v) ^ M(t,x.%jj{t)) V х € R, й G [0,и+],
поэтому

-AJ ^ I i^M(t,x(t),^(t)) - M(t,xt(t).i/j(t))-o
—х*(£),ф(£))Дх(£) j dt.
Функция
m(t, x) = M(t. x, V40) = —e~ptF(x) + ^{t){—x + -u+h(^(£)))
является вогнутой функцией аргумента х в силу выпуклости функции F(x) Вогнутость функции означает выполнение неравенства
m{t, х) — m(t, х) — mx{t, х)(х — х) ^ О V х. х G Л.
Прих = т(£), х = т*(£) из последнего неравенства следует, что Д./ ^ 0. Теорема 3 доказана
Замечание 4 Теорема 3 верна и при более общих предположениях, когда класс допустимых управлений состоит из всех измеримых (по Лебегу) на [0, +оо) функций со значениями из отрезка [0,и+], при этом предположение о выпуклости функции F(r) оказывается излишним Для доказательства теоремы в этом случае используется принцип максимума Понтрягина в классическом виде (без требования ф(+оо) = 0) и теорема суш,ествования оптимального управления (см раздел 1.9). Техника, используемая в данном разделе, применима и в более сложных случаях, когда прямое применение принципа максимума в классическом виде невозможно. Б разделе 1 10 рассматривается пример, в котором функция F(x) не является всюду дифференцируе-мой, несмотря на это, удаётся найти оптимальное решение