Эллиптические операторы в подпространствах и их приложения

• Автор: Савин, Антон Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

1. Содержание работы
2. Обзор литературы
I Эллиптические операторы в подпространствах
3. Эллиптическая теория в подпространствах
3.1. Подпространства, определяемые псевдодифференциальными проекторами
3.2. Эллиптические операторы в подпространствах
4. Операторы с условиями четности
4.1. Подпространства с условиями четности
4.2. Гомотопическая классификация эллиптических операторов в подпространствах
4.3. Теорема об индексе
Дополнение. Действие антиподальной инволюции в К-теории
II Краевые задачи для эллиптических уравнений
5. Классические краевые задачи
5.1. Основные определения
5.2. Пример
6. Гомотопическая классификация
6.1. Классификация операторов порядка нуль
6.2. Редукция порядка: от первого к нулевому
6.3. Редукция порядка: от произвольного к первому
6.4. Основные теоремы
7. Задачи для общих эллиптических уравнений
7.1. Спектральные краевые задачи
7.2. Теорема о редукции

8. Задачи в четных и нечетных подпространствах
8.1. Условия четности и краевые задачи
8.2. Классификация задач с четными проекторами
8.3. Классификация задач с нечетными проекторами
8.4. Основные результаты
III Функционал размерности и ^-инвариант
9. ^-инварианты и подпространства с условиями четности
9.1. Основная теорема
9.2. Примеры
10.Дробная часть функционала размерности
10.1. Вычисление дробной части в простейшем случае
10.2. Вычисление дробной части в общем случае
10.3. Теория mod п-индекса
10.4. Эллиптическая теория с коэффициентами в Zn
10.5. Формула для дробной части функционала d
Дополнение А. Подпространства и группа К1 (Т*М)
Дополнение В. К-теория с коэффициентами в Zn
Литература

1. Цель настоящей работы — построить теорию эллиптических операторов, действующих в подпространствах, определяемых псевдодифференциальными проекторами.
Как известно, классическая эллиптическая теория имеет дело с эллиптическими операторами, определенными в соболевских пространствах. Основными фактами этой теории являются теорема конечности (фредгольмовости) эллиптических задач (на компактном многообразии или многообразии с краем), а также формула индекса таких задач. К сожалению, в ряде приложений теория эллиптических операторов в пространствах Соболева оказывается недостаточной. Вот один пример. В теории краевых задач хорошо известно, что не для любого эллиптического оператора существуют корректные (фредгольмовы) краевые задачи в пространствах Соболева. В частности, так обстоит дело для важных геометрических операторов, например, операторов Дирака, сигнатуры и т.п. Действительно, как было указано Атьей и Боттом [21], для существования фредгольмовых краевых задач для данного оператора необходимо и достаточно, чтобы его символ удовлетворял некоторому условию. Указанные выше геометрические операторы такому условию как раз и не удовлетворяют. Возникает вопрос, можно ли построить эллиптическую теорию для операторов, не удовлетворяющих условию Атьи-Ботта? Ответ на этот вопрос утвердительный. Именно, оказывается, что для любого эллиптического оператора существует корректная краевая задача, правда не в пространствах, а в под пространствах Соболева. Этот эффект связан с тем, что нефредгольмовость краевых задач в пространствах Соболева для операторов, не удовлетворяющих условию Атьи-Ботта, проистекает из бесконечномерности коядра оператора. Поэтому, если граничные условия задачи брать лишь из некоторого подпространства пространства Соболева, то соответствующая проблема уже будет фредгольмова [13]. Это наблюдение приводит естественным образом к построению теории эллиптических операторов в подпространствах пространств Соболева.
Оказывается, что такой класс подпространств связан с псевдодифференциальными проекторами и на этом пути удается доказать теорему фредгольмовости на компактном многообразии с краем и без края.
2. После установления теоремы конечности, естественно, возникает задача о нахождении гомотопических инвариантов эллиптических операторов в подпространствах и вычислении индекса таких операторов.
По-видимому, здесь стоит отметить, что индекс эллиптического оператора в подпространствах определяется не только его главным символом, но также и самими подпространствами, в которых этот оператор действует. Для вычисления индекса вводится некоторый числовой функционал, определенный на множестве всех подпространств, удовлетворяющих так называемому условию четности, и принимаю-

[-1,0] X ЭМ М

Рисунок 3. Оператор В на многообразии М' — [—1,0] х дМ и М
которая, с точностью до изоморфизма векторных расслоений, совпадает с модельной задачей 2?±.
2) Две гомотопии (49) и (51),(52) ограничения краевой задачи на край многообразия поднимаются до гомотопий краевых задач. Для этого рассмотрим срезающую функцию ф : М —» И, которая равна единице в окрестности края многообразия М, а вне окрестности X х [0,1/2) равна нулю. Композицию гомотопий (49),(51) обозначим для краткости через (В'т,Вт),т £ [0,1]. Рассмотрим многообразие М с подклеенным конечным цилиндром (см. рис. 3)
Оператор В продолжается на это многообразие: на цилиндре [—1,0] х X зададим его гомотопией В'__г Тогда требуемое поднятие гомотопии (В'Т,ВТ) до гомотопии краевых задач (Вт, Вт) на многообразии М определяется формулами
Таким образом, краевая задача (О, В) продеформирована в задачу {Ві,В), которая в окрестности границы многообразия совпадает с модельной задачей Т>±. Следовательно, определен эллиптический оператор порядка нуль
Нетрудно проверить, что эта конструкция определяет гомоморфизм групп
М' — [—1, 0] хХи М.
Вт (1, х) = В (і - ф (і) г, х), те [0,1].
(53)
ЄЕ11°(М).
Єї : Е111 (АГ) [В, В]