О задачах управления колебаниями мембран и пластин с помощью граничных сил

• Автор: Романов, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с. : ил.

Оглавление
Глава 1. Введение
Глава 2. О задаче управления колебаниями плоской мембраны в случае ограничения на абсолютную величину управляющего воздействия
Глава 3. Управление колебаниями пластины с помощью граничных сил
Глава 4. Точное управление колебаниями прямоугольной пластины с помощью граничных сил
Список литературы
Глава
Введение
Задачам, связанным с управлением системами с распределенными параметрами, посвящено большое количество работ как российских, так и зарубежных авторов. Значительная часть этих работ рассматривает такие объекты, как струны, мембраны и пластины. Используемые при этом методы управления можно условно разделить на два класса.
Первый класс связан с управляющим воздействием, распределенным по всей поверхности рассматриваемой системы. Второй класс основан на граничном управлении. В данной диссертации будут рассматриваться только такие задачи, в которых управление распределено по границе.
В дополнение к результатам полученным в данной работе, приведем обзор методов и задач, рассмотренных другими авторами. При этом, некоторые из этих задач будут рассмотренны более подробно, поскольку они связаны с методами используемыми в данной диссертации.
В монографии [25] изложены результаты по управлению колебаниями тонких упругих пластин. Сформулирован принцип Л. С. Понтрягина для задач с начальными условиями и смешанными граничными условиями, когда часть пластины свободно оперта, а часть защемлена. Заметим, что управляющее воздействие здесь предполагается распределенным по всей поверхности пластины и ограничено по норме пространства Лг-
В работах [7, 31, 35-43, 45] рассматриваются проблемы управления различными системами, такими какосциляторы, мембраны, пластины, стержни, при различных ограничениях на управляющие воздействия. Излагается также метод декомпозиции, т. е. сведение задачи об управлении некоторой колебательной системой к решению счетной системы более простых

задач. Более подробно остановимся на методах, изложенных в монографии [41].
В гл. 4 монографии |41[ рассматриваются управляемые системы с распределенными параметрами, связанные с уравнениями распространения волн. Системы предполагаются линейными, а управление осуществляется посредством распределенных воздействий, описываемых соответствующими членами в правой части уравнения. Управление предполагается ограниченным по абсолютной величине. Ставится задача о приведении управляемой системы в пулевое состояние за конечное время. Предложен способ управления, основанный на декомпозиции исходной системы и применении оптимального по быстродействию управления для каждой моды движения, полученной в результате разложения решения но методу Фурье.
Данная задача по существу сводится к управлению счетной системой мод (маятников), что требует получения специальных оценок. Приведены также достаточные условия разрешимости поставленной задачи управления. Управляющее воздействие получено в явном виде. Выведены оценки сверху для времени процесса управления.
Для полноты картины сформулируем основные результаты, приведенные в данной монографии.
Будем рассматривать управляемые системы с распределенными параметрами, описываемые линейными уравнениями в частных производных. Рассмотрим уравнение
ши = Аш + V. (1)
В уравнении (1) ш(жД) - скалярная функция п-мерного вектора х — (ад
дится в пространстве обобщенных функций к слабому решению задачи: (Й-Д)у = 0 в Qt = Qx(0,T),
у |*=0 = ¥>{х), у[ и=о = ф{х),
к = Р(х,1).
Решение данной задачи понимается в смысле определения 2.
Доказательство. Возьмем функцию, определенную как решение зада-

50 I
&T1S - 0.
С помощью интегрирования по частям получаем:
JJ yN(х, t) ©(ж, t) - 2 _ Ух{я> t)Q(x, t)dxdt

= I (дав; - (ю);в)<й* + даЦ - е<к.

Последний интеграл в правой части обращается в нуль, так как Tp|s
0, а удфаД) ~ конечная комбинация собственных функций, нормальная производная которых, обращается в нуль на границе. Тогда получаем:
JJ yN(x,t)£(x,t)dxdt = J((рЭ[ ~ грО)dx+
Ят п
/„(1)Хп(х)&(х, t)dxdt,