Геометрические методы понижения размерности сингулярно возмущенных дифференциальных систем

• Автор: Тропкина, Елена Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Метод интегральных многообразий
1.1 Асимптотическое разложение медленных интегральных многообразий
1.2 Дифференциальные системы, линейные по быстрым переменным
1.3 Параметрическое задание интегральных многообразий
1.3.1 Модель распространения малярии
1.4 Неявная форма задания медленных
многообразий
2 Основные методы редукции моделей энзимной кинетики
2.1 Итерационный метод
2.1.1 Дифференциальные системы, линейные по быстрым переменным
2.1.2 Обобщение итерационного метода на нелинейные по быстрым переменным системы
2.2 ИЛЗМ-метод
2.3 СБР-метод
2.4 Система фермент-субстрат-ингибитор
2.4.1 Метод интегральных многообразий.
Явная форма задания медленного интегрального многообразия

2.4.2 Метод интегральных многообразий.
Неявная форма задания медленного
интегрального многообразия
2.4.3 Итерационный метод
2.4.4 СЭР-метод
2.5 Кооперативное явление
2.5.1 Метод интегральных многообразий.
Явная форма задания медленного интегрального многообразия
2.5.2 Метод интегральных многообразий.
Неявная форма задания медленного
интегрального многообразия
2.5.3 Итерационный метод
2.5.4 СЭР-метод
3 Сингулярные сингулярно возмущенные системы
3.1 Существование медленного интегрального многообразия
3.2 Неявные медленные инвариантные
многообразия
3.2.1 Кинетика металлоорганических соединений
3.2.2 СЭР-метод
4 Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы. При построении моделей, описывающих процессы различной природы в химии, биохимии, робототехнике, экономике, аэродинамике и других областях, часто используют сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений. Этот факт объясняется тем, что в таких системах происходят резко отличающиеся по скоростям процессы.
Система дифференциальных уравнений называется сингулярно возмущенной, если в ней при части производных присутствует малый параметр. Такую систему можно записать в виде
і = /(*,£> У, £)> І0-1)
єу = д(і, х, у, є), (0.2)
где х Є Я"1, у Є Яп, £ Є Я — переменная времени, є - малый положительный параметр. Функции / и д определены и непрерывны по совокупности переменных при всех х Є Я'”, у є Я С Я"' (Я — некоторая область в пространстве Я"), £ Є Я, 0 < є -С 1. Уравнение х — /(£,х,у,е) является медленной
подсистемой системы (0.1), (0.2), а уравнение єу = д(Ь,х.у,е) —- быстрой.
Интенсивное развитие авиации, приборостроения, химической промышленности и других областей науки и техники незамедлительно вызвало большой интерес многих ученых к развитию теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. В работах [9], [14], [24], [45], [60], [69], [84] были получены первые результаты по теории сингулярно возмущенных систем. В дальнейшем, в таких работах, как [1], [10] - [12], [15], [22], [26], [31] - [33], [40], [48], [52]—[54], [55], [59], [64] - [68], [70], [83] и других, теория получила свое развитие. Проблемам существования, единственности и устойчивости интегральных многообразий сингулярно возмущенных систем посвящено много

(й(о))2 _ _ _ _( } _ (
—-— ) [1-—)^т1(1-ъи''и,)-т2'ш( —Оііу -а2у

—^1 — (і — +{ш — т2)й)^1і — 2й>^)
+аі('Ш(0^^1) + ги^у^) — а2[у?{1 — йі^) — тї^у^]-
Введем следующие обозначения:
:)гй(1) - аіу^ -(ги(°))2л N
Л.2 — (ті - т2)'
с = N К1 ^
в2 =
- -(і) а2У2 “ г

1 — —) — тоі(1 — гн^) — т2гй^ — ау|0^ — ді2у^ К /
^ ^1 — ^)+(7^1і — гп2)йі<'1'> (І — 2йі^) +

+йі(гн^у{^ + го^Уі°^) — ао[у^і — й)^) — ги^у^],
(^ГтЬ^-т^-^У ‘

Тогда система принимает вид

-.(1)
(Рк1г + 7і)у[2) + /?/ц-ггг)(2) = -^—(1 - г)В3 - 'в^С -
{Ріа* + ъ)У2] + Ріагй® = (Алі!2) + Д.2У22)) =
дгдД ~У(уА1 + од) - у|0)А2, Яу(°) я А1)
~ Уг^(^і + ^г) ~ У2°^2)

9у{2]

-(1 - г)Вх -
(1 - г)Вх -
Решая полученную систему, найдем у[2, :

(Х ~ г) {^дГВ з + ЧвВ^+ТгГС + У](А1 + “і) + 'УІ0)^

Ту2ТііХ
(1-г)(Шв3+^В^+^С + $А1+а2) + у{2)А
ТііііТ^г + 1)В

ТуТь

(1-*){Чгв'і + ^ві)+тк'с + Уі] і^+йі) +у()а
(і.бі)

(1 - г)( ^-Вз+^-вЛ+^-С + у?(Аг + а2) + уА