Некоторые вопросы разложения функций в кратные ряды Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка

• Автор: Абилов, Марат Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 119 с. : ил.

§ 1. Разложения по собственным функциям оператора
Лагерра-Эрмита
§ 2. Разложения по собственным функциям оператора
Лагерра-Якоби
§ 3. Разложения по собственным функциям оператора
Эрмита-Якоби
§ 4. Точные оценки скорости сходимости двойных
рядов Фурье-Эрмита
§ 5. Разложения по собственным функциям оператора
М{х)^! + А2(у)щ1 + В{х)-§^ + В2{у)щ
§ 6. Разложения по собственным функциям операторов Лагерра-Лагерра, Эрмита-Эрмита, Якоби-Якоби
(обратные теоремы)
Литература
Известно, что решение многих задач теоретической и математической физики приводит нас к различным специальным функциям математической физики (классические ортогональные многочлены, цилиндрические, сферические и гипергеометрические функции), которые обычно возникают при решении уравнений математической физики методом разделения переменных, основанном на теоремах разложения функций по различным ортогональным системам.
Вопросами разложения функций в ряды Фурье по различным ортогональным системам занимались многие математики. Им посвящены фундаментальные монографии Н.К. Бари, А. Зигмунда, Г. Сеге, Г.Н. Ватсона, Б.М. Левитана и И.С. Саргсяна, А.Г. Костюченко и И.С. Саргсяна, Э.Ч. Титчмарша и др., а также ряд обзорных статей П.Л. Ульянова, Б.И. Голубова, Л.В. Жижиашвили, В.А. Ильина-Е.М. Никишина-Ш.А. Алимова, В.М. Тихомирова, М.И. Дьяченко и др.
Настоящая работа также посвящена некоторым вопросам разложения функций многих переменных в кратные ряды Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов второго порядка.
В диссертации, в частности, рассматриваются разложения функций двух переменных по собственным функциям, которые образуют полную ортогональную систему в пространстве Ьч{р{х,у)'^) с подходящим весом р(х, у), относительно которого ортогональна соответствующая система в ее области определения С?, следующих дифференциальных операторов

Известно, что в вопросах сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе существенную роль играет оператор сдвига = /{х + Ь) и определяемые с его помощью модули непрерывности различных порядков. В вопросах же, связанных со сходимостью рядов Фурье по другим системам собственных функций, например, по собственным функциям дифференциального оператора второго порядка
д2 , д2 п д п д
дх2 ду2 Х дх Уду’
аналогичную роль играют операторы обобщенного сдвига. Операторы обобщенного сдвига, построеннные в диссертации, тесно связаны с теоремами сложения и умножения для рассматриваемых систем собственных функций, а также с производящими функциями этих систем.
В диссертации с помощью операторов обобщенного сдвига вводится понятие обобщенного модуля непрерывности различных порядков для функции двух переменных, характеризующее ее гладкость. Рассматриваемые в диссертации классы функций характеризуются с одной стороны обобщенным модулем непрерывности, а с другой — тесно связаны с дифференциальными операторами, по собственным функциям которых иссследуются разложения функций.
Отыскивая скрость сходимости двойных рядов Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов, указанных выше, на тех или иных классах функций двух переменных в различных функциональных пространствах с весом, мы, можно сказать, естественно приходим к исследованию величины, равной точной верхней грани уклонения частичных сумм на рассматриваемом классе функций. Так как, в отличие от одномерных рядов Фурье, здесь нет естественного способа построения частичных сумм, то мы должны были бы сначала фиксировать некоторый класс функций, а затем построить частичные суммы кратного ряда Фурье так, чтобы указанная выше величина была минимально возможной. Эти идеи при-

Тогда
= <(£+£
Е Е2
Е2 = {(п,т) : п + т2 ^ N,71 ^ т2}. ЯЯ (к)Рт^ (сое у'Тг)
апт(/) — +
Оценим теперь каждое слагаемое в отдельности. Нетрудно заметить, что если (п,т) 6 Е1, то п ^ |ЛГ, если же (п,т) € £2) то
т> 2 Имеем
и-£
Ь$?к)РР (сов-Л)

^ ^16
ЯЯ(0)Р,<Я(1) ь{пь)
<4*(Я <
а„т(Я
= С1бв2 п 2 4 >

ЯЯ(о)
е£/г?+зЯЯ(/г)
ЯЯ(о)
апт(ЯОтсюда в сиду неравенств (12) и (13), имеем
а. 1.
_ . а 1 71 2 4 о , -ч
£1<с17/г 2 4 X -—-апгп{/)
= С17/г 2~*ХП 3 "апт(/) < С18(ЛГЛ) 2 *ХХ(-Я’
то есть
Далее,
Е1 < С18(М)-*-* XI °пт(/)-
п+т2^ЛГ
£*=Е

ЯЯ (И)Рт^ (соэ //г)
Да)(0)Р^}(1)
В силу неравенства (14) имеем, что
Р^) (соб //г)
а1т(Л-
^2 < С19 X Е2
р№ 1)
<£«(Я