Метод суммирования гауссовых пучков и смежные вопросы теории распространения волн

• Автор: Попов, Михаил Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 268 c. : ил

ШВДЕНИЕ
’лава I. ЗАДАЧА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ РАСХОЖДЕНИИ В ТРЕХМЕРНЫХ
НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С ГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ РАЗДЕЛА
§ I. Формулировка задачи , метод решения, основные
результаты
§ 2. Стационарный лучевой метод. Задача о
геометрическом расхождении
§ 3. Пространственно-временной лучевой метод. Задача
о геометрическом расхождении
5АКЛЮЧЕНИЕ
'лава П. МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ В
ИЗОТРОПНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ I. Отражение и преломление гауссовых пучков на границе раздела сред
§ 2. Представление волнового поля в виде интеграла
по гауссовым пучкам
§ 3. Вывод формул для начальных амплитуд гауссовых
пучков
§ 4* Алгоритм метода суммирования гауссовых пучков
лава Ш. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ. РЕЗУЛЬТАТЫ
ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
§ I. Основные формулы метода суммирования гауссовых
пучков в двумерном случае
§ 2. Суммирование гауссовых пучков в квазидвумерном
случае
§ 3. Примеры скалярных задач
§ 4. Примеры векторных задач теории упругости
'ЗАКЛЮЧЕНИЕ

’лава 1У. ВОЛШ ШЕПЧУЩЕЙ ГАЛЕРЕИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК
ГРАНИЦЫ, ГДЕ ЕЕ КРИВИЗНА ОБРАЩАЕТСЯ В НУЛЬ
§ I. Постановка задач в рамках метода параболического
уравнения Леонтовича-Фока
§ 2. Численное решение задач
§ 3, Примеры точно решаемых задач расоеяния для
"параболического" уравнения
§ 4. Коэффициенты возбуждения волн шепчущей галереи в окрестности точки распрямления вогнутой
границы
§ 5. Волновое поле в каустической тени
§ 6. Асимптотика волнового поля при ~Ь -9 + ею
в задаче с точкой перегиба границы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
МТЕРАТУРА

I. Асимптотические методы находят широкое применение для рас-іета волновых полей различной физической цриродн: акустических, уп->угих, электромагнитных. Среди них лучевой метод является одним из іаиболее распространенных. Для уравнений теории упругости этот ме-?од, предложенный В.М.Бабичем [б, б] , был развит в работах В.М.Ба-Зича, А.С.Алексеева и др. [ I, 2, в] . Многочисленные приложения лу-їєвого метода можно найти в монографиях [89 , 30 , 45] , см. ?акже библиографию к ним.
Уже при решении кинематических задач в рамках этого метода цри-:одится, как правило, численно интегрировать уравнения для лучей уравнения Эйлера для соответствующего функционала Ферма). Если роме времен прихода (эйконалов) нужно знать амплитуды волн, то дя этого необходимо вычислять геометрическое расхождение на каж-;ом луче, описывающее расходимость лучевой трубки и входящее в ам-литуду лучевых формул. В тех немногих случаях, когда уравнения Эй-:ера для лучей интегрируются в квадратурах, явно описывается и гео-:етрическое расхождение. В большинстве случаев, однако, это ока знается невозможным. Поэтому весьма актуальной становится задача о ычислении геометрического расхождения на данном изолированном лу-е, когда остаются неизвестными другие лучи, образующие лучевую рубку.
Работа [їв] является, по-видимому, одной из первых, в которой та задача решается в двумерном случае, см. также [ 9б] . Идея реше-ия состоит в от, что вводится дополнительная система дифференци-льных уравнений, интегрирование которой совместно с уравнениями йлера дает возможность находить как луч, так и геометрическое рас-эждение на нем. Эта система получается дифференцированием по луче-

эквивалентные закону Снелиуса. Условия (2.44) следует считать вы-юлненными, коль скоро луч 0>£0) считается известным.
Совпадение квадратичных членов влечет сле,дущее матричное равенство
°А* - /А* (&С1.) А - 2(6 -°(В) +
+ 2 [до _ Д О D (2.45)
С0 ( S>-J
де А* означает транспонированную матрицу. Для того, чтобы (2.45) гажно было рассматривать как уравнение, определяющее начальное зна-:ение матрицы °(£(S) в точке падения, т.е. при s = s* , матрица /Д олжна быть невырожденной (det 7А Ф 0) . Имеет место следующий ре-ультат.
■"У —■^
ЛИМА I. Если лучи 'Z-(s) и crZ.f£) не касаются границы в точке адения s = , то матрицы К и °А невырожденные.
Приведем доказательство леммы для матрицы А
Пусть dzt /А = 0 . Это эквивалентно тому, что строки матрицы , см. формулы (2.39), линейно зависимы, т.е. существуют числа ± , 2 , не равные одновременно нулю (Х^А^С?) » и такие

ХД* АС, ? )=0-(X, С-*-АД., С )-о.
гсюда следует коллинеарность векторов V и в,# , т.е.
± €fi(.-+z€zk~cx V , причем (X =■ А* +^ , так как единичные векто-I ^ и ортогональны. Умножая обе части этого равенства ска-фно на i,4 , получаем 0 = Л (у, i,¥) , откуда вытекает а~0;
1к как [ ф 0 , поскольку падающий луч не касается границы.