Операторные методы исследования малых периодических колебаний нелинейных динамических систем

• Автор: Нуров, Исхокбой Джумаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 216 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Методы локальной теории дифференциальных уравнений

1.1 Периодические решения дифференциальных уравнений и эквивалентные операторные уравнения

1.1.1 Периодические задачи для дифференциальных уравнений

1.1.2 Линейные уравнения

1.1.3 Нелинейные системы

1.2 Вводные понятия общей теории локальных бифуркаций

1.2.1 Структурная устойчивость динамических систем

1.2.2 Вводные понятия теории бифуркаций

1.2.3 Локальные и глобальные бифуркации

1.2.4 Коразмерность бифуркации
1.2.5 Локальные бифуркации коразмерности один
1.2.6 Бифуркация малых решений операторных уравнений
1.3 Метод функционализации параметра
1.4 Итерационные процедуры решений операторных уравнений
1.4.1 О методе Ньютона-Канторовича
1.4.2 О методе простых итераций
2 Исследование малых периодических колебаний нелинейных систем
2.1 Исследование задачи о бифуркации Андронова-Хопфа
2.1.1 Признаки бифуркации Апдронова-Хопфа
2.1.2 Операторный метод исследования бифуркации Андро-
нова-Хопфа
2.2 Бифуркации малых колебаний в системах автоматического управления
2.2.1 Вспомогательные сведения
2.2.2 Бифуркация малых автоколебаний систем автоматического регулирования
2.2.3 Вспомогательные утверждения
2.2.4 Алгоритм построения малых автоколебаний
2.2.5 Анализ устойчивости бифурцирующих решений
2.3 Метод импульсно-частотных характеристик в решении бифуркационных задач
2.3.1 Основные утверждения
2.3.2 Асимптотические формулы для бифурцирующих решений
2.4 Доказательства основных утверждений
2.4.1 Доказательства лемм 2

2.4.2 Доказательство теоремы
2.4.3 Доказательство теоремы
2.4.4 Доказательство теоремы
2.4.5 Доказательство леммы
2.4.6 Доказательство теоремы
3 Операторные методы исследования малых колебаний уравнений второго порядка
3.1 Методы теории вращения векторных полей
3.1.1 Вспомогательные сведения
3.1.2 Постановка задачи
3.1.3 Основные пространства
3.1.4 Переход к операторному уравнению
3.1.5 Вспомогательные построения
3.1.6 Исследование системы (3.21)
3.1.7 Завершение доказательства
3.2 Операторные методы исследования уравнения Льенара
3.3 Примеры численного исследовании бифуркации
3.3.1 Пример 1: осциллятор Ван-дер-Поля
3.3.2 Пример 2: модельное уравнение
4 Бифуркационные задачи с медленно меняющимися параметрами
4.1 Бифуркация двукратного равновесия со слабоосцилирую-
щими параметрами
с гладкой по совокупности переменных х и Л правой частью. Предположим, что выполнено условие (1.24). В этом случае наиболее типичными локальными бифуркациями в окрестности нулевого положения равновесия для системы (1.27) являются бифуркации коразмерности один, когда матрица Якоби
В( А)=/'(0,А) (1.28)
при Л = Ло удовлетворяет одному из условий 1° или 2° (см. предыдущий пункт), т.е. либо имеет простое нулевое собственное значение, либо имеет одну простую пару чисто мнимых собственных значений.
В первом случае возникает бифуркация двукратного равновесия. При переходе значений параметра Л через Ло нулевое положение равновесия меняет характер устойчивости и в системе (1.27), как правило, возникает одна или несколько ненулевых ветвей положений равновесия ж (А) таких, что !|ж(А)|| —> 0 при А -А Ло- Пример такой бифуркации дает уравнение (1.22).
Бифуркация Андронова-Хопфа
Пусть теперь для системы (1.27) выполнено условие 2°, т.е. матрица В{Ао) имеет одну простую пару чисто мнимых собственных значений ±гго, гло > 0. Это возможно только при выполнении неравенства N 2. Пусть для простоты система (1.27) двумерна, т.е. N — 2. Пусть, наконец, при переходе значений параметра А через Ао собственные значения матрицы В(А) пересекают мнимую ось.
В этом случае нулевое положение равновесия изменяет характер устой-