Асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных

• Автор: Копылова, Елена Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 162 с. : ил.

Резюме
Диссертация посвящена теории асимптотической устойчивости решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. Для линейных уравнений Клейна-Гордона с потенциалом установлено дисперсионное убывание решений и доказана асимптотическая полнота рассеяния. Методы доказательства представляют собой развитие теории рассеяния Агмона-Йенсена-Като-Мюраты для случая уравнений Клейна-Гордона.
Главный результат диссертации состоит в доказательстве асимптотической устойчивости солитонного многообразия и построении солитонной асимптотики для релятивистского волнового уравнения с потенциалом тина Гинзбурга-Ландау. Асимптотическая устойчивость означает, что решение уравнения с начальными данными, близкими к одному из солитонов, при больших временах асимптотически представляет собой сумму некоторого, возможно другого, со-литона (с другой траекторией и скоростью) и дисперсионной волны, являющейся решением соответствующего линейного уравнения. Методы доказательства основаны на спектральных свойствах линеаризованного уравнения и представляют собой современное развитие теории устойчивости Ляпунова. Мы распространяем подход Буслаева - Перельман, примененный ими для уравнения Шре-дингера: симплектическая проекция на солитонное многообразие в гильбертовом пространстве, модуляционные уравнения для солитонных параметров, нормальные формы Пуанкаре, критерий излучения Ферми, метод мажорант и др. на релятивистские уравнения.-
Впервые построены примеры нелинейных уравнений с заданными спектральными свойствами линеаризованной динамики.

Оглавление
0 Введение
0.1 Мотивировка исследования
0.2 Обозначения и определения
0.3 Основные результаты
0.4 Обзор литературы
0.5 О методах исследования
I Дисперсионное убывание
1 Уравнение Шредингера
1 Свободное уравнение Шредингера
1.1 Принцип предельного поглощения
1.2 Поведение резольвенты при £ —>
1.3 Убывание резольвенты при С —> оо
2 Уравнение Шредингера с потенциалом
2.1 Поведение резольвенты при С —>
2.2 Убывание резольвенты при С —► оо
2.3 Долговременная асимптотика
2.4 Асимптотическая полнота
2 Уравнение Клейна-Гордона
3 Спектральные свойства
3.1 Свободное уравнения
3.2 Возмущенное уравнение
4 Долговременная асимптотика
4.1 Свободное уравнение
4.2 Возмущенное уравнение
4.3 Асимптотическая полнота
5 Приложение А. Доказательство леммы 4.
6 Приложение В. Доказательство леммы 4.
3 Модифицированное уравнение Клейна-Гордона
7 Введение
8 Свободное уравнение

8.1 Спектральные свойства
8.2 Долговременное убывание
8.3 Доказательство предложения 8.
9 Уравнение с потенциалом
9.1 Возмущенная резольвента
9.2 Принцип предельного поглощения
9.3 Убывание резольвенты при и> —> оо
9.4 Поведение резольвенты при ш —> 0
9.5 Долговременная асимптотика
10 Приложение С. Доказательство леммы 8.6
II Асимптотическая устойчивость кинков
4 Бегущие кинки
11 Формулировка главного результата
12 Симплектическая проекция
12.1 Симплектическая структура и гамильтонова форма
12.2 Симплектическая проекция на солитонное многообразие .
13 Линеаризация на солитонном многообразии
13.1 Гамильтонова структура и спектр
13.2 Убывание трансверсальной линеаризованной динамики
13.3 Оценки нелинейного члена
14 Симплектическое разбиение динамики
15 Модуляционные уравнения
16 Убывание трансверсальной динамики
16.1 Замороженная трансверсальная динамика
16.2 Интегральные неравенства
16.3 Симплектическая ортогональность
16.4 Убывание трансверсальной компоненты
17 Солитонная асимптотика
5 Стоячий кинк
18 Формулировка главного результата
19 Линеаризация на кинке
19.1 Убывание линеаризованной динамики
20 Асимптотическое разложение динамических уравнений
20.1 Асимптотическое разложение і
20.2 Асимптотическое разложение /
21 Нормальные формы Пуанкаре
21.1 Нормальная форма для /
21.2 Нормальная форма для і
21.3 Сводка нормальных форм
22 Мажоранты

пг) Для к > 2 асимптотика (1.36) получается при помощи индукции из рекуррентного соотношения
2С<‘}(0 = -(2/с - п)Я?-1}(0 - 5 Эх, И, /?Г2)(С)]], к > 2. (1.40)

Для доказательства этого соотношения, применим к правой части преобразование Фурье аналогично (1.38):
. (к — 1)! 1 2 (А:-2)! /пг .(к- 1)! „ (Л; — 1)! ^
( п) (е - О*+ 2у (е - С)*-1 “ ( п) (£2 - Ок (£2 - о*
- (21: п){к~1)- п{к~1)- I 2^
( '(^-0* (е-Ок (е-Ош
2к 2Щ2 к
(е-Ок + (е-Ош ~ Ч¥-Ош’
что совпадает с преобразованием Фурье левой части (1.40). Теорема 1.7 полностью доказана. □
Следствие 1.14 Пусть фо 6 Т2(М"), где п = 1,2,3 и а > 1. Тогда для решения ф(Ь) уравнения (1.1) справедливо интегральное представление

Ф^) = I е~г<Ь [-^оСС + г'°) - *(С - *0)] Фа £еК, (1.41)

где интеграл сходится в смысле распределений переменной Ь е М со значениями в Ь2_а.
Доказательство
Суммируя представления (1.2) и (1.3), и устремляя е —> ОТ, мы получим представление (1.41) при помощи теоремы Коши, оценки (1.8) и теоремы 1.7. □
2 Уравнение Шредингера с потенциалом
Рассмотрим уравнение Шредингера с ненулевым потенциалом У(х):
1ф{х,1) = Нф(х, 4) = (—Д Т У(х))ф(х,1), ж е К”, п~ 1,2,3. (2.1)
Обозначим через
я(С) = (я-СГ1, Сес[о,оо)
резольвенту оператора Н. Ниже перечисленные свойства резольвенты для потенциалов, удовлетворяющих условию (0.6) получены в работах [13, 29, 61].