К теории начальных и краевых задач для междупредельных дифференциальных и разностных уравнений

• Автор: Чадаев, Ваха Абдулмуслимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 73 с.

® ГЛАВА 1. Теория дробного исчисления. Предварительные сведения
§ 1.1. Исторический обзор
§ 1.2. Специальные функции
§ 1.3. Дробные интегралы и производные
§ 1.4. Дифференциальные уравнения дробного порядка
ГЛАВА 2. Задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка
§ 2.1. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для
квазилинейных уравнений дробного порядка
ф § 2.2. Видоизмененная задача Коши для нелинейного уравнения
дробного порядка
§ 2.3. Задача Коши для нелинейного уравнения дробного порядка
§ 2.4. Видоизмененная задача Коши для квазилинейного уравнения
дробного порядка
§ 2.5. Задача Коши для квазилинейного уравнения дробного порядка
ГЛАВА 3. Численное решение задачи Коши и краевой задачи для
дифференциальных уравнений дробного порядка
§ 3.1. Модификация метода Эйлера для дифференциального
уравнения с дробной производной
§ 3.2. Численное решение краевой задачи для дифференциального # уравнения дробного порядка методом модифицированной прогонки
§ 3.3. Численное решение краевой задачи для однородного дифференциального уравнения с дробной производной
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Актуальность темы. Более углубленные исследования реальных процессов приводят к необходимости исследования дифференциальных уравнений дробного порядка. К таким процессам может быть отнесена проблема фильтрации жидкости в средах с фрактальной геометрией, физические аспекты стохастического переноса, исследование сплошных сред с памятью, математических моделей вязкоупругого тела, климатических моделей. С дифференциальными уравнениями дробного порядка связано решение гиперболо-параболических уравнений с характеристической линией изменения типа, также и нагруженных уравнений.
Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены исследования Алероева Т.С., Барретта Д.Х., Бечеловой А.Р., Вольтерра
B., Джрбашяна М.М., Зарубина А.Н., Карасева И.М., Килбаса A.A., Кумыковой С.К., Лесковского И.П., Летникова A.B., Мандельбройта
C., Маричева О.И., Нахушева А.М., Нахушевой В.А., Некрасова А.Б., Нерсесяна А.Б., Нестерова С.В., Пичера E., Поста Е.Л., ПсхуА.В., Репина O.A., СамкоС.Г., Сербиной Л.И., Сыоелла В., Хольмгрена X., Шханукова М.Х.
Цель работы. Основной целью работы является исследование видоизменной задачи Коши в локальной и нелокальной постановках для квазилинейных уравнений дробного порядка и качественный анализ решений канонических междупредельных дифференциальных уравнений. Также построение и исследование разностных аналогов дифференциальных уравнений дробного порядка для видоизмененной задачи Коши и его решение модифицированным методом Эйлера. И, наконец, решение краевой задачи для дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной "прогонки".
Методы исследования. Результаты получены с использованием методов последовательных приближений, сжатых отображений, решения интегральных уравнений, а также теории разностных схем.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты.
1. Установлена связь между начальными условиями задачи Коши в локальной и нелокальной постановках, получено условие разрешимости задачи Коши для междупредельного дифференциального уравнения и также установлена эквивалентность этих задач для линейного дифференциального уравнения дробного порядка интегральному уравнению Вольтерра второго рода в одном случае и интегральному уравнению Фредгольма третьего рода в другом случае.
2. Для различных типов квазилинейных дифференциальных уравнений дробного порядка решена видоизмененная задача Коши, сведением исходного уравнения к интегральному, получены оценки для п-ых приближений.
3. Получен аналог метода Эйлера для дифференциального уравнения дробного порядка для решения задачи Коши.
4. Решена краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения дробного порядка методом модифицированной "прогонки получен критерий устойчивости вычислительного процесса для нахождения коэффициентов "прогонки".
5. Дано решение краевой задачи для однородного дифференциального уравнения дробного порядка с использованием явной разностной схемы и критерий устойчивости вычислительного процесса.
Практическая и научная ценность. Работа является как теоретической, так и практической. Теоретическая часть может быть использована в теории дифференциальных уравнений дробного порядка, а практическая часть может быть применена для численного решения задачи Коши для конкретного дифференциального уравнения дробного порядка и также краевой задачи.
Апробация работы. Результаты докладывались в 1993 г. в работе школы-семинара по современным проблемам анализа и математического моделирования в НИИ ПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик
= 1 1 [уШз(2,5.8)
Г(1 + а)Г(1-а„)&гУ УК ’ У (*-й)“»

Пусть
}Ы^~у1ПЛ. (2.5.9)

Тогда

Мх) = ~ГаТа)Г(1~а,)£ / (2.6.10)

Вычислим ./„(ж, в) следующим образом
Л(*, а) = [ <Ша ~*УМ _а[ —*•№
к ’ ’ У (*-з)а» У (г-й^Дж-г)1-“ ' '
в в
Замена переменной t по формуле
£ = й + Дж — й)
дает значение
их, ») = (*- ,)>+-• I <(» + Ф-^))(1-Щ^-

-0(х - »)«-«. I (2.5.12)

Дифференцируя £л(., .) = (! + „- а„)(* - «Г- ) +
/- М+Л Г °п(5 + ДЖ _ 5))(1
+ (ж - й)1+а_ап
у ’ У 2“