Возмущение и устойчивость моделей авторезонанса

• Автор: Султанов, Оскар Анварович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Функции Ляпунова для систем близких к гамильтоновым
1.1. Постановка задачи
1.2. Теорема об устойчивости
1.3. Теорема о неустойчивости
1.4. Примеры
Глава 2. Возмущения начальных данных
2.1. Постановка задачи
2.2. Система уравнений главного резонанса
2.3. Система параметрического авторезонанса
Глава 3. Детерминированные возмущения
3.1. Постановка задачи
3.2. Классы возмущений
3.3. Система уравнений главного резонанса
3.4. Система параметрического авторезонанса
3.5. Устойчивость в системах близких к гамильтоновым
3.6. Постоянно действующие возмущения, ограниченные в среднем .
3.7. Устойчивость на асимптотически большом промежутке времени .
Глава 4. Случайные возмущения
4.1. Постановка задачи
4.2. Классы возмущений
4.3. Общие системы
4.4. Система уравнений главного резонанса

4.5. Система параметрического авторезонанса
4.6. Примеры допустимых возмущений
Заключение
Список литературы
Введение
Актуальность темы исследования. В современной математической физике исследование многих физических явлений приводит к математическим моделям, записанным в форме обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящей работе исследуются математические модели, которые описывают резонансные явления в нелинейных осциллирующих системах. Под резонансом обычно понимается явление значительного роста амплитуды или энергии колебаний, при условии, что интенсивность вынуждающей силы остается малой. При этом резонанс оказываются возможным только при наличии определенных соотношений между параметрами системы. На важную роль резонансов в механике впервые, по-видимому, обратил внимание Галилей в начале 17 века при изучении маятников [1, с. 192]. С тех пор резонансные явлений активно исследуются как математиками, так и физиками.
Рассмотрим, например, уравнение линейного осциллятора с внешней периодической силой: d2x
—г + и>2х = е COS 1st, Ш, V = const, 0<£<1. at
Если v1 ф ш2, то общее решение можно представить в виде:
£ COS Vt
x(t) = acosfarf + ф) -1—г
U)1 — uz
где а,ф — числовые параметры, определяемые из начальных условий. Из структуры решения следует, что все траектории остаются ограниченными для любых а, ф равномерно по t € М. Однако, если выполняется соотношение: и = со, то
x(t) = acos(wit + ф) + sin ut.

В этом случае имеет место резонанс, который проявляется в неограниченном по времени росте амплитуды колебаний. Из явных формул для решений также видно, что на далеких временах t = £-1 амплитуда возрастает до величин порядка 0(1) вне зависимости от того, на сколько малы были начальные данные

об устойчивости положения равновесия (0,0) в соответствующей системе уравнений для R(t), Ф(£). Нетрудно проверить, что в главных членах асимптотики при t —» оо такая система представляет собой математический маятник с переменным коэффициентом. Для дальнейшего анализа выгодно перейти к более привычной форме уравнений с постоянными коэффициентами в главном члене асимптотики. Для этого сделаем замену переменных:
г(т) = Ro(t) + ^(t) = Ф0(т) + Ф(£), t = UTb/A) (2.5)
v = А1//44/2/5 > 0. Получившиеся для R(t) и Ф(£) уравнения запишем в виде dR г£Ф
— = -дФЯ(Я.Ф,£), — = с>лЯ(Я,ФД) + Я(Я,ФД), (2.6)
выделив гамильтониан

6(5ty/5R0 и негамильтонову часть

СОь(Ф + Фо) + Ф sin Фо — COS Фо + —

Я3 - ЗЯА ЯФ

(5А t)'/
(2.7)

соз(Ф + Фо) СОэФо
kJL , (2.8)
(5Xty/ЧR0 + R/y/Ж0 Я0 .1 2(5А^)1/5Яо’
которая стремится к нулю при £ —> оо.
Конструкция функции Ляпунова основана на исследовании асимптотики
правых частей уравнений (2.6) в окрестности равновесия (при р = /Я2 + Ф2 —> 0) и на бесконечности (при £ —>■ оо). Все приводимые ниже асимптотические оценки вида 0(ра), либо 0(t~&), (а,/3 = const > 0) являются равномерными по переменным Я, Ф,т в области
V(p0, to) = {(Я, Ф, t) G М3 : р < ро, t > t0}, ро, t0 = const > 0.
Такие функции (остатки) можно сделать сколь угодно малыми в Х>(р0, £о) ПРИ подходящем выборе границ ро, to- Малость остатков обеспечивает основную