Дифференциальные операторы с периодическими комплекснозначными коэффицентами

• Автор: Велиев, Октай Алиш оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1980
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 97 с.

ГЛАВА I. О СПЕКТРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ШМПЛЕКСНОЗНАЧНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ I. О семействе операторов '7^
§ 2. О спектре операторов Т7 и
Глава II. О СПЕКТРАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ШМПЛЕКСНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ I. О проекторах оператора /
§ 2. О спектральных особенностях оператора

§ 3. О спектрапьшх особенностях оператора

Глава III. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ I. О методике построения спектрального
разложения
§ 2. Теоремы разложения
ЛИТЕРАТУРА

Сингулярные несамосопряженные дифференциальные операторы до последнего времени не были предметом исследования. Ввиду того, что абстрактная теория несамосопряженных операторов и теория самосопряженных операторов не дает никакого утверждения о спектральном разложении операторов с комплекснозначными коэффициентами, то такие операторы исследуются непосредственно. Одним из интересных случаев является случай дифференциальных операто-

ров с периодическими комплекснозначными коэффициентами,
В настоящей диссертации исследованы спектр, спектральные особенности, а также построено спектральное разложение, отвечающее замкнутому дифференциальному оператору Т"7 , который порождается в пространстве [-<*>, с°) дифференциальным выражением
^ а>
(рк (х-и) = ркС*) (*-Я»)) с периодическими комплекснозначными коэффициентами.
По этому поводу есть работы Рофе-Бекетова Ф.С. /12] , Мак-Гарвея [7] -[9] , Серова М.Н. [13] -[15/ , Гасымова М. Г. (3 а ,б] Ткаченко В.й. [177
В работах Мак-Гарвея [7]-/9] и Рофе-Бекетова Ф.С. [12] доказано, что оператор г имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с множеством тех значений Я , для которых уравнение
(2)
имеет решение, ограниченное на всей оси - о^

Если обозначим через // оператор, порожденный в пространстве /3, (Я)$ дифференциальным выражением (I) и граничными условиями
,(*1 1 С*)
(3)
то спектр оператора 'Т совпадает с объединением спектров операторов % при £ в Сили, другими словами, с множеством корней характеристического уравнения
о(л£ (А(Л)~-С Е)-0 др0 -£€[0^2,37] (4)
где Ли) -матрица монодромии уравнения (2) и совпадает с матрицей Вронского для системы фундаментальных решений уравнения (2) при X- 1 . Следовательно, спектр состоит из аналитических кривых, расположенных в плоскости Я ,
Спектр уравнения
- у"Л ~ (5)
подробно изучен в работах Серова ЦтзРЦб]и уточнен в работе Рофе-Бекетова [12] . Основные результаты этих работ следующие:
I) Пусть КеР-0 , где £р/х)а£х .
Тогда характеристическое уравнение (4) имеет вид
Р(Х)-0>ССКТ ; <Г- £+о1е[о(}177и] _± р
<2>
где Г Су -целая функция. Отсюда следует выводы:
а) спектр состоит из конечного или бесконечного количества дуг, содержащихся в полосе

{ (f &cxt я; + (l'c~ е)Шх, я)) ot* - -Л f Lf^ir, i)-t
Икнипн о
-f у [XC£bi-X&)ÖCX'i)^(ict-b>)(e L- $+({'-и Qyl-fe'-O
получим
'lCM-t-Хд - if'-&
[tLt-e)C&' -e)- l-H*-?&'
Тогда

c( и)-. Г0!,/fa»)
llrjllnilJ r
Из книги Титчмарша fl6j известна следующая формула
1 г
0х, })еСк

Поэтому

Y (I-33) По теореме о неявной функции из (1.30) получим