Когомологии дополнений к наборам координатных подпространств и интегральные представления голоморфных функций

• Автор: Элияшев, Юрий Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
Основные обозначения
1 Предварительные сведения
1.1 Общие факты из алгебраической топологии
1.2 Известные факты о топологии дополнений
к наборам координатных подпространств
1.3 Когомлогии Чеха, фильтрации и коцепи
1.4 Интегральные представления голоморфных функций
2 Топология конфигураций координатных подпространств
2.1 Когомологии дополнения к набору комплексных координатных подпространств
2.2 Когомологии дополнения к набору вещественных координатных подпространств
3 Фильтрации Ходжа и интегральные иредставле-

ния голоморфных функций
3.1 Фильтрации Ходжа на когомологиях дополнений
к наборам координатных подпространств
3.2 Интегральные представления голоморфных функций
4 Топология конфигураций плоскостей заданных
простым многоугольником
4.1 Группы гомологий Ня{Сп Zp) и двойственность Александера-Понтрягина
4.2 База группы когомологий ГР(Сп Zp)
Список литературы

Введение
Топология наборов координатных подпространств представляет интерес в разливных областях математики: в торической и комбинаторной топологии |5, 7|. в теории торических многообразий, где дополнения к наборам координатных подпространств выступают в роли пространств однородных координат для таких многообразий [16, 17], в теории интегральных представлений голоморфных функций и вычетов в многомерном комплексном анализе, где наборы координатных подпространств выступают в роли сингулярных множеств ядер интегральных представлений [1, 21].
В книге Горески п Макферсона [19] (см. также |8|) был разработан универсальный комбинаторный метод вычисления когомологий для дополнений к произвольным наборам плоскостей, однако этот метод трудно применим для реализации явных конструкций базисных элементов когомологий и часто ведет к довольно громоздким вычислениям. Исследования в области торической топологии, в частности работы Бухштабера и Панова и других авторов [2, 3, 5, 6, 7] позволили найти методы вычисления групп когомологий дополнений к координатным, наборам комплексных подпространств, которые в ряде случаев проще универсальных методов и позволяют получать некоторую дополнительную информацию. Надо заметить, что топологии дополнений к координатным наборам вещественных подпространств было уделено меньше внимания.

где Н^(£'(Х)) и Н*1(Хк£’(Х)), соответственно, 5-тые когомологии комплекса де Рама, па X и /с-го члена его фильтрации Ходжа. Другими словами, класс когомологий о; принадлежит РкНя(Х,С), если у него существует представитель 5, р] = со, такой, что

где їїиі е £р'(1{х).
Рассмотрим двойной комплекс Чеха-де Рама для покрытия Ы: СЫ, £*) с кограницей Чеха 5 : С1(Ы. £ь) —> (Д+1(<Ч, £*) и дифференциалом де Рама. сі: СЫ,£Ь) —» С1(и.£*+Л) на нём, т.е.

*»+•= ...<«+,кп-п и,1+1,

(Дсо)га і, = СІ(со).4и—,е, •
По двойному комплексу построим полный комплекс
Кг(и, £*) = 0 Си.£ь)
і!+і=7'
с дифференциалом И — в. + (—1)*5 на элементах их С1{Ы, £6'). Заметим, что мы берем оператор <5 со знаком (—I)4’ затем, чтобы (.КЛ{1А, £*). £)) был комплексом, т.е. чтобы имело место равенство О2 — 0, его когомологии обозначим Н[)(К*{Ы, £*)). Имеется естественное вложение комплекса де Рама є : £*(Х) —> С{)(Ы, £*), є(ш)3о = , индуцированное им вложение
£*(Х) в К*(Ы,£*) также буде обозначать є.
Теорема 1.8. Вложение є : £’{Х) —> К'{Ы) является квазиизоморфизмом комплексов: т.е. Н$(Х, С) — Нр(К'(1А, £'))■
По сути эта теорема является частным случаем теоремы 1.3.