Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функций

• Автор: Кириллова, Дина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Биробиджан
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Содержание

Введение

1. Емкости конденсаторов и квадратичные дифференциалы

1.1. Обобщенные конденсаторы

1.2. Асимптотические формулы

1.3. Квадратичные дифференциалы

2. Экстремальные разбиения

2.1. Необходимые условия

2.2. Фиксированные полюса

2.3. Свободные полюса

2.4. Мебиусовы инварианты
2.5. Задача о четырех неналегающих областях
3. Приложения в теории функций
3.1. Мероморфные функции без общих значений
3.2. Многоточечные теоремы искажения
3.3. Оценки начальных коэффициентов в классе ^
3.4. Неравенства для полиномов
Список литературы

Введение
В настоящее время задачи об экстремальном разбиении занимают значительное место в геометрической теории функций и имеют богатую историю (см. монографии [17, 39], а также обзоры [32, 72, 73]). Впервые экстремальные разбиения рассматривались при получении оценок произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей. Эта тематика восходит к знаменитой статье М.А. Лаврентьева 1934 года [85] и впоследствии была развита в работах Г1.П. Куфарева [84], Г.М. Голузина [24, 25],
3. Нехари [107], Ю.Е. Аленицына [1], H.A. Лебедева [86], Дж. Дженкинса [28], Г.В. Кузьминой [69]—[71], [74], И.П. Митюка [87, 88] и других математиков. Современные задачи об экстремальном разбиении включают в себя различные типы модулей и приведенных модулей непересекающих-ся областей. Значительные результаты в решении такого рода задач установлены в работах Г.В. Кузьминой [75]—[82], П. Дюрена и М. Шиффера [97, 100, 110], А.К. Бахтина и его учеников [5] - [15], [18, 19, 91], С.И. Федорова [92], Е.Г. Емельянова [49]—[54], А.Ю. Солынина [90], А.Ю. Васильева [114] и многих других. Основными методами при решении этих задач являлись: вариационный метод, метод экстремальных метрик и метод площадей. В последние десятилетия ряд задач об экстремальном разбиении был решен В.Н. Дубининым и его учениками Е.Г. Прилепкиной, Л.В. Ковалевым, Е.В. Костюченко и И.В. Эйрих с помощью свойств емкостей обобщенных конденсаторов и симметризации [30]—[37], [43]—[45], [48], [63]—[65], [68]. Развитие методов симметризации в задачах геометрической теории функций связано с именами В.К. Хеймана, Дж. Дженкинса, И.П. Митюка, П.М. Тамразова, М. Маркуса, Д. Ахаронова, А. Бернстайна, В.А. Шлыка,
В.Н. Дубинина, А.Ю. Солынина и других авторов.
Вместе с тем, многие задачи об экстремальном разбиении, в особенности со свободными полюсами, остаются нерешенными. В частности, неизвестно насколько в традиционных задачах о неналегающих областях внутренние радиусы можно заменить на радиусы Робена (о емкости Робена, функции и радиусе Робена см. [29, 36, 37, 94, 96, 98, 99, 102, 113]); как выглядят экстремальные разбиения, если на экстремум исследовать функционалы, зависящие от последующих коэффициентов в разложении функции Грина (функции Робена); каковы экстремальные разбиения в случае свободных полюсов на отрезке, на луче и других подмножествах комплексной сферы; каковы экстремальные разбиения для мебиусовых инвариантов, связанных с неналегающими областями.
Хорошо известно, что к задачам об экстремальном разбиении сводятся многие другие вопросы геометрической теории функций (см. [25, 39], а также обзоры [32, 72, 73]). Таким образом, от решения этих задач во многом зависит прогресс в исследовании смежных проблем: оценок коэффициентов, доказательств теорем покрытия и теорем искажения для однолистных и многолистных функций, получение метрических свойств подмножеств комплексной сферы и так далее.
Цель диссертационной работы - развить технику емкостей конденсаторов и симметризации в решении задач об экстремальном разбиении и дать новые приложения экстремальных разбиений в традиционных разделах геометрической теории функций комплексного переменного.
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1. дается определение обобщенного конденсатора и формулируются

инварианта вида

п г(Д, ак)
4 := —-------------------—5Г, (2-1.5)
{ п'к-аЛ"
(здесь и далее штрих у произведения означает, что для бесконечно удаленной точки под соответствующим множителем понимается единица). Для получения /„ нужно для п попарно неналегающих областей Д и точек ак Є Д, к — 1, п ^ 2, перемножить всевозможные попарные
произведения вида (2.1.4) и извлечь корень степени 2{п — 1). В 1951 году Г.М. Голузин получил точную оценку для /3 [25, с.165]

3 " 81л/з’
где равенство достигается, с точностью до дробно-линейного преобразования, только для областей, являющихся равными углами и точек, лежащих на биссектрисах этих углов на одинаковом расстоянии от их общей вершины. Случай п > 3 оказывается значительно сложнее и существенно отличается от ситуации п ^ 3, так как дробно-линейным отображением любые три наперед заданные точки можно перевести в три точки, удобные для доказательства. Для п — 4 Г.В. Кузьмина в работе [69] показала, что задача об оценке 1 сводится к проблеме наименьшей емкости в определенном семействе континуумов и получила точное неравенство
/4 < з2 ■ 4"8/3.
Равенство достигается только в том случае, когда, с точностью до дробнолинейного преобразования, а = —Й2 = 1,аз = —04 = г(2 — /3), а граница

множества ІД Д. состоит из отрезка [л/З — 2, 2 — л/3], лучей {г г =