Бифуркации экстремалей из угловых особых точек края банахова многообразия

• Автор: Швырева, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 111 с. : ил

Оглавление
Введение
I. Схемы конечномерных редукций для угловых особенностей.
1. Фредгольмовы функционалы и их особенности
2. Конечномерные редукции особенностей
3. Редуцирующая схема, многообразие катастроф и
каустика при наличии угла
4. Моды бифуркации в угловых критических точках.
II. Бифуркации экстремалей вблизи угловых особенностей.
1. Конечномерная теория угловых особенностей
2. Каустики и 6г/—расклады для краевой экстремали
с трехкратным вырождением вдоль края
3. Особенности с трехкратным вырождением относительно максимальной грани
3.1. Симметричный случай

3.2. Описание каустики и Ы/—раскладов в общем случае
4. Исключительный случай
III. Приложения.
1. Бифуркации равновесных конфигураций упругого стержня (краевой случай)
2. Бифуркации равновесных форм эйлерова стержня
при наличии двух полуограничений
Список цитированной литературы

Введение
Широко известно, что для многих физических систем выполняется принцип наименьшего действия Мопертюи, согласно которому состояние системы реализуется как минимум функционала полной энергии, который неразрывно связан с этой системой. То есть конфигурации (фазовые состояния) описываются экстремальной задачей
V{q) »inf, q е Q,
где Q - пространство состояний.
Например, подобный принцип имеет место для замкнутых упругих систем и для сегнетоэлектрических фаз кристаллов. Некоторые нелинейные вариационные задачи оптимального управления, теории фазовых переходов, теории интегрируемых гамильтоновых систем необходимо решать при наличии дополнительных ограничений. На языке функционального анализа эти задачи записываются в виде:
V(x) —* inf, gi(x) >0, х £ М, i = 1, 2,...,
где V(x), gi(x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М [35], [41], [43], [80]. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи угловой точки края банахова многообразия [1, 19, 27, 28, 55, 56, 69, 75, 85].
Задача изучения поведения гладких функционалов вблизи угловых точек края банахова многообразия представляет интерес

является ключевой функцией уравнения (12).
Уравнение
/(Ё?Л(А)+*«,Л),Л) = 0 (15)

является уравнением разветвления.
Достаточно близкая к нулю точка а Е является решением уравнения (12) при Л = Л тогда и только тогда, когда
« = £ 1зе) +

где £ — близкая к нулю критическая точка ключевой функции. При этом а — невырожденное решение уравнения (12) (невырожденная экстремаль функционала V) лишь одновременно с невырожденностью £, как критической точки для функции ИД-, Л). Таким образом, изучение решений уравнения (12) или экстремалей функционала V вблизи нуля также сводится к анализу ветвления критических точек функции ИД-, А).
При практическом применении этой схемы возникает проблема вычисления ключевой функции IV. Во многих случаях достаточно ограничиться несколькими первыми членами разложения IV в ряд Тейлора. Во многих локальных задачах это производится при помощи специальным образом выбранной ритцевской аппроксимации.
Определение 16. Ритцевской аппроксимацией [71] функционала V, заданного па банаховом пространстве Е, называется функция
1ГЯ(0 = У{±Ье;), £=(а,-,£П)Т,