Симметрические, самосопряженные и J-самосопряженные дилатации линейных операторов

• Автор: Кудряшов, Юрий Леонтьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Симферополь
• Количество страниц: 137 c. : ил

ГЛАВА I. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ДИЛАТАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
§ І.І. Диссипативные операторы
§ 1.2. Дилатации линейных операторов
§ 1.3. Пространства вектор-функций
§ 1.4. Эрмитова и симметрическая дилатации диссипативного оператора (спектральное представле
ние)
§ 1.5. Симметрическая дилатация диссипативного оператора А в случае 9(A) =9 (А*)
§ 1.6. Симметрическая дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление)
Глава II. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИЛАТАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ
ОПЕРАТОРОВ
§ 2.1. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора (спектральное представление)
§ 2.2. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление)
§ 2.3. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора А в случае ограниченности мнимой
компоненты оператора А
§ 2.4. Минимальность самосопряженной дилатации
Глава III. J-ЭРМИТОВЫ И J -САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИЛАТАЦИИ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 3.1. J -эрмитова дилатация линейного оператора

§ 3.2. Спектрэльное представление J -самосопряженной дилатации линейного оператора
§ 3.3. Трансляционное представление J -самосопряженной дилатации линейного оператора
Дополнение. Об одной модификации понятия характеристической функции линейного ограниченного оператора
Литература

При изучении неунитарных и несамосопряженных операторов полезными оказываются развиваемые в последние десятилетия как метод характеристических функций, так и метод дилатаций Сто есть ме -тод "растяжений" заданного оператора до унитарного или самосопряженного). При этом теория унитарных дилатаций сжатий довольно полно разработана в ряде работ Б.С.-Надя и Ч.Фояша И-Затем Ч.Дэвис [14] , Ч.Фояш и Ч.Дэвис [15] , Л.А.Сахнович [1б] , А.В.Кужель [5,17] , опираясь на метод Надя-Фояша, построили и исследовали 7 -унитарные дилатации произвольного плотно заданного замкнутого оператора и произвольного ограниченного оператора.
А.В.Кужель в [5, 17] построил одно из трансляционных представлений Т -самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым множеством регулярных точек.

Простейшие соображения говорят о том, что в случае диссипативных операторов должны существовать симметрическая и самосопряженные дилатации. Для этого достаточно воспользоваться преобразованием Кэли.
Таким образом, в случае диссипативных операторов задача сводится к явному построению симметрической и самосопряженной дилатаций. Эта задача была решена в работе Б.С.Павлова [У] для оператора Шредингера А = -Д + ^ р , где <р и р - вещественные непрерывные функции из Р3 ,
О = ^ и оператор А = + предполагается
самосопряженным на

Теорема 1.6. Пусть А - диссипативный оператор, и пространство - сепарабельное. Тогда дилатация унитарно эквивалентна оператору Ьт при .
Доказательство теоремы проведем с помощью изоморфизма У7 , установленного между пространствами И+=
% = Ф % в § 1.3.
Оператор V5 действует по схеме:

а = К,йг,«), / ,^ач =

Найдем сначала У - .
с/ г
Пусть У € (5^) , тогда, так как
А & ) • т°
Ы> е* У?* -(*-м~*е‘]-

Используя это соотношение, имеем:
СХ5 со
_с/_

С*0 со .