Обобщенно - уплотняющие нелинейные отображения и их приложения

• Автор: Дмитриенко, Владимир Тимофеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 119 c. : ил

ГЛАВА I. Теория степени Л -уплотняющих возмущений фредгольмовых отображений.

§ I. Л -уплотняющие отображения и их свойства,

§ 2. Гомотопическая классификация Л -уплотняющих

возмущений собственных отображений

§ 3. Степень Л -уплотняющих возмущений фредгольмовых отображений

ГЛАВА 2. Применение Л -уплотняющих отображении к краевым задачам для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ I. Фредгольмовость, собственность и Л -уплотняемость обыкновенных дифференциальных операторов. 37 § 2. Вычисление ориентированной степени и индекса

множества решений простейших краевых задач

§3.0 разрешимости задачи Пикара для уравнений

2-го порядка

§ 4. О существовании периодических решений

ГЛАВА 3. Л -уплотняющие многозначные отображения и
их применение к экстремальным задачам
§ I. Л -уплотняющие многозначные возмущения собственных отображений и их топологические инварианты
§ 2. О разрешимости экстремальных задач
ЛИТЕРАТУРА
Анализ новых классов нелинейных задач, выделение и исследование адекватных им классов нелинейных уравнений составляют одно из главных направлений в современном нелинейном функциональном анализе. В исследовании нелинейных уравнений иажное место занимают качественные методы, в частности, принципы неподвижных точек, принципы гомотопии и продолжения решений по параметру, топологические методы. Среди них отметим методы, основанные на понятии степени отображений или понятии вращения Еекторных полей. Использование таких методов для исследования новых классов нелинейных задач требует изучения ноеых топологических характеристик и классов нелинейных отображений, а также приложения этих исследований к конкретным задача!/!. Это направление и развивается е данной диссертационной работе.
Цель работы. Состоит в исследовании нового класса обобщенно-уплотняюших (однозначных и многозначных) нелинейных отображений, построений топологических инвариантов нелинейных отображений, включающих обобщенно-уплотняющие и фредгольмовы отображения, и получении с их помощью признаков существования решений различных краевых л экстремальных задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.
История вопроса. Впервые построение теории степени отображений бесконечномерных пространств дано в работе [34] , в которой предложена конструкция степени вполне непрерывных векторных полей. Далее е работе [32] была изложена теория вращения того же класса отображений и разработаны Еопросы её применения к различным классам задач. За прошедшие годы теории Еращения и степени были распространены как на новые классы возмущений тождестЕенно-ного оператора (см. [5] , [35] ), так и на классы отображений,

не являющихся возмущением тождественного оператора, например, на различные классы монотонных отображений и их возмущений ( [26] , [45] , [50] ), и получили многочисленные приложения к различным классам задач (см., например, [45] , [46] , [74] ).
Среди работ, посвященных теории степени нелинейных отображений и вопросам её приложения, отметим работы, имеющие наиболее тесную связь с диссертационной работой.
Большую известность получила теория уплотняющих отображений. Важный этап развития этой теории составили построение вращения и степени уплотняющих векторных полей и получение с их помощью новых теорем о неподвижных точках (см. [17] , [18] , [20] , [38], [39] , [42] , [43] , [66] , [67] ). Среди работ этого направления отметим работу [43] , в которой впервые сформулирован принцип биективного соответствия гомотопических классов вполне непрерывных и уплотняющих векторных полей, обобщаемый в диссертации, и приведена конструкция степени уплотняющих Еекторных полей, опирающаяся на понятие фундаментального множества, введенное в работе [27]
Теория уплотняющих Еекторных полей получила многочисленные приложения к исследованию различных классов дифференциальных уравнений (см. [28] , [40] , [68] ). Итоги развития этой теории и ее приложений подЕедены в работах [2] , [41]
Обобщением теории степени Еполне непрерывных и уплотняющих векторных полей послужили теории степени Ь -компактных и [_, -сжимающих по мере некомпактности Куратовского или Хаусдорфа возмущений линейного фредгольмоЕа оператора нулевого индекса ( [56] , [60] , [64] ). Хорошо разработаны вопросы приложения этих теорий к различным классам краевых задач для дифференциальных уравнений различных типов ( [56] , [58] , [61 ] , [62] ,[71]).

1.5.1 на каждом из множеств Поэтому отображение у локально с Мех») -ограничено по мере некомпактности а в некоторой
у Е у
окрестности 1/Хо, определяемой и-.ии±. . Применение леммы 3.2 гл.1 к отображениям (Л, о) и (/, о) завершает доказательство. □
Б заключение параграфа отметим, что приведённые условия фред-гольмовости отображения М хорошо известны (см.,например,[15]). Полученные условия Л -уплотняемости имеют вид условия сжатия по последней переменной и хорошо известны для случая отображения Л , линейного по векторным переменным (см.[56]). Результаты о собственности обыкновенных дифференциальных операторов, полученные в п.2, не могут быть установлены с помощью леммы Элворти и Тромба, обеспечивающей собственность фредгольмовых отображений (см. [54] ). Доказательство этих результатов основано на утверждении теоремы 1.2, обобщающей классическую теорему о сходимости решений (см. .например, 1(47] ) на случаи обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной (кратко (ИДУ)).
§2 Вычисление ориентированной степени и индекса множества решений простейших краевых задач.
В этом параграфе приводятся вычисления ориентированной степени отображении и индекса множества решений для операторных уравнений, эквивалентных простейшим краевым задачам для (ИДУ).
п.1 0 разрешимости начальной задачи и продолжении решений
для (ЦЩ
Рассмотрим начальную задачу вида
, І є [о,#] (2.1)
х(0) = Со (с0є /?") . (2.2)
Отметим, что данная начальная задача имеет решения, траектории которых проходят в 00 , лишь в том случае, когда уравнение