К теории минимизации кратного интеграла

• Автор: Супрун, Дмитрий Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 c. : ил

ГЛАВА I.Обобщение преобразования Каратеодори

ГЛАВА II. Связь между квадратичными условиями оптимальности

ГЛАВА III. Необходимые условия Сд-локального минимума...

Глава IV. Выпуклость по Каратеодори и квазивыпуклость Мор-ри в существовании решения задачи минимизации

кратного интеграла

ЛИТЕРАТУРА

В данной диссертации изучаются вопросы, связанные с задачей минимизации кратного интеграла.
Центральное место в этом исследовании занимает преобразование Каратеодори, предложенное в работе [V] . Применение аппарата этого преобразования позволило получить новые результаты в необходимых и достаточных условиях минимума для задачи минимизации кратного интеграла.
Задача минимизации кратного интеграла часто возникает при описании различных физических процессов и яелєннй, возникающих в теории электромагнитного поля, общей теории поля, теории пластичности п в ряде других разделов физики и механики.

В наиболее общей постановке такая задача обычно формулируется в следующем виде:

ГОм)= ^а,*с-ь);у*(-ь>и-ь С0Л) В
Мы будем считать, что область интегрирования G - уЦ -мерна, то есть О ^ іР-^ , 4: = б"Ь4>...» а эг - и. -мерный вектор эс = Интегрирование осуществляется по уЦ -мерной поверхности /многообразию/ в и+ /* -мерном пространстве:
Хс = , і , V* = / с
Ы. = л,/ - **/* -матрица частных производных этой поверхности. Функция зависит от трех групп переменных
(•Ь, эс, р) , где р - их/< -матрица, то есть
—> 1РИ
В данной работе будет изучаться главным образом задача (0.1) с заданными граничными условиями = Ч>(±) , где УШ
заданная на границе области (т функция. Лишь в третьей главе,

при изучении условия Якоби для кратных интегралов, будут рассмотрены некоторые необходимые условия в задаче (О.і) с произвольными граничными условиями на и нефиксированной областью интегрирования б . Отметил, что в диссертации основное внимание уделено случаю: >л , и > £ • Для этого наименее исследованного случая в вариационном исчислении кратных интегралов имеются существенные пробелы, главный из которых заключается в значительном разрыве между необходимыми и достаточными условиями минимума.
Несмотря на то, что первые попытки изучения задачи минимизации кратного интеграла начали предприниматься еще во второй половине прошлого века / Клебш Й , Кобб з] /, до сих пор для задачи (0.1') не построена такая стройная теория, как это сделано для однократного интеграла. Это обусловлено, главным образом, тем, что теория уравнений в частных производных не предоставляет нагл таких широких технических возможностей, какие дает теория обыкновенных дифференциальных уравнений для задач одномерного вариационного исчисления /. Необходимость применения теории уравнений в частных производных неизменно возникала во всех работах, касающихся существования решения и достаточных условий минимума. После работы Адаыара , в которой он сформулировал необходимые условия для задачи минимизации кратного интеграла и отметил специфику этой задачи, связанную с увеличением размерности м и і*, , первой наиболее детальной и систематической работой по минимизации кратных интегралов были исследования Кара-теодори, в наиболее полной форме опубликованные в 1929 году Гі].
В этой работе Каратеодори развил теорию минимизации кратного интеграла, основанную на некотором предложенном им формализме.
Формализм Каратеодори основан на введенном им преобразовании,
которое обобщает преобразование Лежандра на случай матричного

матрица ^ будет диагональной, причем на главной диагонали сначала стоят по возрастанию отрицательные собственные числа, затем положительные, а в последних 'Х строках нули. Так как ранг /3 равен и~'г- , то существуют 'Х. линейно независимых
решений уравнения Ви - О /2.21) '• Ц,,У і • Покажем, что базис, образованный векторами .,у„_т, и* их искомый. Для этого нужно показать их линейную независимость.
Действительно, линейно независпшші будут вектора так как, если предположить противное, то есть выполнение равенства: + . . . + = О при ы,!+ • • • #■ Нт-г1 ^ о ,
то, ушожая это равенство скалярно поочередно на ^у*-т , получим С ПОМОЩЬЮ утверждения 2, ЧТО о(4=о[ = ...=с
2 /7-у
о-г _
сюда следует и невозможность выполнения равенства "“о и. - о ,
, с->
где не все «й равны нулю, таї: как в противном случае
-./7-ї
<'Уг/ = &(Ус) = О . Поэтому и вектора ус- ,
с = > лпнейно независимы.
Наконец, предположим, что существуют Ы4/ &г не все равные нулю, такие, что
(2.22) . В последнем равенстве по крайней мере одно из чисел
так как Цс , I =4,-"’ * 7 линейно независимы. Применяя
к равенству (2,22) & и, учитывая, что все и с удовлетворяют
л-г
соотношению (2.21), получаем: <=(.- = о , что невозможно ВВИДУ линейной независимости векторов 12, у С , С - 4;.,.,Л-Ї
Так как ну) = Ви;) = £ , с= , / =
= , и (йи^иу) = (Цс, Ви]) =О , с'=4,-..,г
) = » то базис V удовлетворяет
требуемым условиям, что и доказывает теорему 2
Вычислим матрицу в случае, когда п = 2 , а М
произвольно с целью воспользоваться теоремой РІ н теоремой 2.3 , приняв за матрицу / матрицу , а за матрицу /3