Модифицированные характеристики структурных свойств функций и точность аппроксимации

• Автор: Пуеров, Георгий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 104 с.

ВВЕДЕНИЕ
В теории приближения часто рассматриваются оценки значений полунорм (которые так или иначе характеризуют точность приближения) через ту или иную характеристику структурных свойств функций. В частности, классической является задача об оценках отклонений различных методов приближений, при этом в качестве характеристики структурных свойств функции, как правило, рассматриваются их модули непрерывности. В настоящее время получено большое количество результатов, относящихся к этой тематике, которым посвящена обширная литература (см., например, [9, 23]). Однако в некоторых других естественно возникающих ситуациях вопрос о связи между значениями полунорм, заданных на некотором классе функций, и структурными свойствами функций остается еще недостаточно исследованным. Это, в частности, относится к непосредственному сравнению методов приближения между собой. При этом оказывается, что в качестве характеристики структурных свойств можно взять модуль непрерывности не самой функции, а ее первообразной. Последнее позволяет рассматривать более широкие классы функций, причем полученные оценки оказываются более тонкими, чем традиционные оценки через модули непрерывности самой функции. Рассматривая другие модификации модулей непрерывности удается в ряде случаев получить двусторонние оценки, точные (если не обращать внимания на константы) для каждой индивидуальной функции. При этом оценки сверху через модули непрерывности первообразной получаются как следствие.
Изучению этого круга вопросов посвящена глава I. Сделаем краткий обзор полученных здесь результатов. Пусть / принадлежит Ь1 (Т) — пространству 27г-периодических суммиру-
емых на [—7Г,7г] функций, с нормой ll/lli = (/(t) | dt,
+ y^(gfc(/)cosA;:r + bfc(/)sinfcx) (1)

— ее тригонометрический ряд Фурье,

'Y2(ak(f) sin кх - bk(f) cos кх) (2)

— ряд, сопряженный с рядом (1), Sn(f,x) и Sn(f,x) — п-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно,
i(x'h)='S„ meh>0'
Sh,2{f, x) — функция Стеклова второго порядка функции /.
В § 1 главы I устанавливаются оценки сверху для величин типа
М/>ж) = |5п(/,х) - /(ж,тг/п)|.
Как известно, сопряженная функция /(*) = Ит^^оf{’i Щ является “естественной” суммой ряда (2). В случае если f(x) существует, то /(а:,7г/п) будет сходится к f(x) и из признака сходимости для £>„(/, х) получается признак сходимости для сопряженного ряда. Соответственно, представляют интерес оценки величины 0П(/, х) через различные характеристики структурных свойств функции /. В частности, отталкиваясь от классического признака Юнга сходимости сопряженного ряда, Ф. Морицем [25] были получены оценки Dn(/, сс) для ограниченной / 6 £*(Т) в терминах колебаний функции f(x + t) — f(x — £) на подходящих подинтервалах, а также в терминах вариаций функции f(x--t) — f(x — t) в случае, если / имеет ограниченную вариацию. Нашей основной задачей было получение соответствующих оценок в терминах модулей

непрерывности первообразной функции /, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразную.
Такая проблематика подсказана результатами В. В. Жука [10]. С другой стороны, в работах Ф. Морица [25] и Ф. Морица и А. Сиддики [26] содержатся оценки в метрике Ь] (Т) величин
аналогичные описанным выше. Объединяя оба подхода, нам удалось получить две теоремы, приведенные в § 2, где величины
оцениваются сверху через интегральные модули непрерывности первообразной функции /.
Центральное место в главе I занимают параграфы 3 и 4. Пусть С(Т) — пространство 27г-периодических непрерывных
на R функций с нормой ||/|| = max[/(i)|, Р — полунор-

ма в С(Т) инвариантная относительно сдвига и мажорируемая нормой ]|-||, wr(/, h) — модуль непрерывности порядка г в пространствах С(Т) относительно полунормы Р. Если
II/ - ЯДЯНъ \Snif) - f{-pr/n)||i
а > 0, п Є N, / є L1(T), то
?a(f,x) = Y,e~a |fcW/)eib:,

— суммы Абеля—Пуассона и Фейера функции /.
Действительно,
Зм(7.,е,*) = + к)~ 2717е2,(г) + т4д2) - Л)]
= рЬЫ?,е(*) - 2-т4“2)(*) + 7Й,£(0] = 5А12(7.,е(<)»*)-
Из приведенных выкладок следует и второе утверждение леммы.
В дальнейшем нам потребуется тот факт, что функцию / можно приблизить в метрике Ь1(Т) полиномом первой степени с точностью до модуля непрерывности второго порядка данной функции /. В предыдущем параграфе, в случае равномерного приближения, использовался аналогичный результат, причем функция приближалась ее интерполяционным полиномом первой степени (лемма 1.1). В случае оценок в метрике Ь1 (Т) отклонение интерполяционного полинома первой степени не оценивается через модуль непрерывности второго порядка. Однако нужное неравенство можно получить, если изменить аппарат приближения.
Пусть / : К —> Е, И = положим
Рк(М = Да) + А 1и, а)^ + ЛЩ, а)(> -° -Н).
В качестве приближения возьмем производную интерполяционного полинома второй степени первообразной Р^(/(-1),£). Точнее, нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 1.2.3. Пусть / £ Ь1(Т)Д £ К, И = Тогда
||7-(,71)М -^д(7-(,72)Д)||1 < 9тахо;2(7.()71)(*),/г)1.