Исследование отклонений линейных средних рядов Фурье на классах периодических функций

• Автор: Грона, Вадим Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 141 c. : ил

Глава I. Распределение нулей специальных функций ,
порождаемых тригонометрическими интегралами
§ I. Постановка и редукция задачи
§ 2. Свойства функции 2 <£;«)
§ 3, Достаточные условия вогнутости последовательности нулей функции ж)
§ 4. Распределение нулей функций (Ч~Г£<л.&+аОД£
и Г М *
0 1С± + о.)

Глава II. Приближение периодических дифференцируемых
функций нормальными средними Зигмунда
. г*
§ I. Приближение функшй класса Ж

§ 2. Приближение функций класса н*
Глава III. Приближение непрерывных периодических функций
многих переменных сферическими средними Рисса
§ I. Распределение нулей функции
X Г „
§ 2. Асимптотическое равенство для Е С н }
Я со
Л и т е р а т у р а

Работа посвящена вопросам, связанным с исследованием ап-проксимационных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье функций одной и многих переменных в равномерной метрике. Пусть - непрерывная -периодическая функция,
и - ее коэффициенты Фурье,
а. 00 ел
X + £ + Ькбт.к.х.) = £ Л
*” к=х к-О
- ее ряд Фурье,
£ < /> ~ ? А к.Са^ > а = 0,1,2

- ее частные суммы Фурье. Эти суммы являются самым простым и естественным аппаратом приближения функции ^Сзе.). Так Лебег СI Л показал,что
•У**'- 5а^л51* +
где - наилучшее приближение функции тригонометрическими полиномами порядка не выше п. :
1/С*1-ГлС»511с.
Функция lh.ii. растет с увеличением п. довольно медленно и поэтому можно в некотором смысле считать,что приближение функции ее частными суммами Фурье "не намного хуже",чем наилучшее.
Однако еще в 1876 году Дюбуа-Реймонд £2 2 показал,что

существуют непрерывные -периодические функции, ряды Фурье которых расходятся в отдельных точках. Позже А.Н.Колмогоров [3, 4Л построил примеры суммируемых функций, ряды Фурье которых расходятся почти всюду. Вместе с тем, отправляясь от последовательности частных сумм аО можно построить последовательность полиномов 41^^5^),которая бы равномерно сходилась на всем пространстве С непрерывных 2^ -периодических функций.
Первый шаг в этом направлении был сделан Л.Фейером С 5 Д , который показал,что для любой ^ е С
М II/иу-<ГЛ С^-,х111с =0,
п- —* оо

~ о = £ С^. /ол
к=о **о
Чаще всего последовательность полиномов и. С£-3 х ) строится следующим образом.
Пусть А-|Д, )^=0,1 п=0,1 -треугольная
СЮ Сп.5 .
бесконечная матрица чисел, Я =1 Л, в О куп . Каждая
О * 1с. ’
матрица А определяет последовательность полиномов
'Лкс*>, /0>2
или,как говорят, определяет конкретный линейный метод суммирования 41 (А) рядов Фурье.
а СИ1 ,
Если Я, =1 /с =0,1 п. ; /г =0,1 то Ы (/;Л-л)=
“ ^9 если = £.=0,1
и ЯСс° =4 то мы получаем суммы Фейера /см.равенство/О. I//. о 5 гг
Учитывая,что ~ к+ <4*

Тогда, если оАлО удовлетворяет на отрезке Л а, к С условию леммы 1.7,либо существует функция такая, что пара функций с1*Сх') и удовлетворяет на отрезке 2 а> ^ Г условию леммы 1.8, то
7/0, V х £ Л а,4э С
Доказательство . Пусть существует точка С&Ла^ С ,в которой аС1 С с) 2 0 .Тогда, в силу утверждения как леммы 1.7,так и леммы 1.8 /см.замечание к лемме 1.8/, имеет место неравенство
ас'Сх) <0, V х £ С С,^ С ,
которое противоречит существованию последовательности { .
Лемма 1.10. Для непрерывно дифференцируемой функции
существование последовательности { точек из 2а,АС,
'Сйп = 'Ь , в которых Ы*1 *7/ 0 обеспечивает. —^ &а с
ется существованием возрастающей последовательности 1^7 точек из 2 л, к [ таких,что -йт. ц =
г П. —? (Г п. у п.
£*1 ^П-^О.ГДе (Ч - 'кт оих) < ас /предпола9 Х.-9 Ъ .
гается,что такой предел существует/.
Доказательство . Допустим от противного,что последовательности ^ с указанными свойствами не существует. Это означает,что существует число £70 такое, что
ЛСх) *0, I1« .
Следовательно, сЛСх') строго монотонно убывает на СЬ-£^ЬС, и значит у х £ С ^ 4> С , что противоречит условию.
Условия лемм 1.7 и 1.8 носят достаточно общий характер.