Характеризация следов и преобразование Коши линейных непрерывных функционалов в весовых анизотропных пространствах аналитических функций со смешанными нормами

• Автор: Повприц, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 116 с.

Содержание
Введение
1 Диагональное отображение и теорема типа Харди-Литтлвуда в весовых анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой
1.1 Теорема об ограниченном проекторе в весовых анизотропных пространствах голоморфных функций со смешанной нормой
1.2 Диагональное отображение в анизотропных пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой
1.3 Теорема типа Харди-Литтлвуда в весовых анизотропных пространствах аналитических функций в поликруге
2 Линейные непрерывные функционалы и тёплицевы операторы
в пространствах аналитических в поликруге функций
2.1 Линейные непрерывные функционалы в пространствах A(Un)
при 1 < р, q < -Ьоо
2.2 Линейные непрерывные функционалы в пространствах A%q(Un)
при 0 < min (p,q) < 1
2.3 Критерии огранниченности тёплицева оператора в весовых анизотропных пространствах типа Соболева голоморфных в поликруге функций и делимость аналитических функций
Список литературы

Введение
Актуальность темы. В комплексном анализе и его многочисленных приложениях важную роль играют пространства Харди и Бергмана. Методы, разработанные в процессе решения задач, связанных с этими пространствами, нашли существенные приложения в теории рядов и интегралов Фурье, в теории сингулярных интегральных операторов и в других разделах комплексного и гармонического анализа. В последние десятилетия по этому направлению опубликовано несколько монографий. Среди них отметим монографии У. Рудина [11], [12], А. Е. Джрбашяна и Ф. А. Шамояна [30], X. Хеденмальма, Б. И. Ко-ренблюма и К. Жу [34], Н. К. Никольского [41], К. Сейпа [43], Ф. А. Шамояна и Е. Н. Шубабко [24].
В одномерном случае пространства Харди и Бергмана исследованы довольно полно, в то же время ряд важных вопросов, относящихся к весовым пространствам аналитических функций типа Харди и Бергмана в поликруге, сравнительно мало изучен. При этом задачи, связанные с указанными пространствами, имеют широкие приложения в теории кратных тригонометрических рядов и других вопросах многомерного гармонического и комплексного анализа, теории функциональных пространств. Поэтому тематика диссертационной работы весьма актуальна.
Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введем необходимые определения и обозначения.
Пусть
ип = {г = (гъ 22,..., гп) : |^-| < 1,1 < у < п} (0.1)
- единичный поликруг п-мерного комплексного пространства С",
тп = {г = (21, 22,..., 2„) : |2^| = 1,1 < 3 < п} (0.2)
- единичный тор (остов поликруга У"), Я (У71) - множество всех аналитических в У” функций, и = ..., ип) - некоторая вектор-функция, заданная на
С^п = [0; 1)”, Нр(ип) - класс Харди в У".
Обозначим через Я множество всех положительных функций и, суммируемых на интервале (0,1) для которых существуют положительные числа тпш,

Мш, Яш такие, что тШ)?и€ (0,1) и
ш(Хг)
< Мш,

/г е (0,1), А е [?«;!]■ Простым примером таких функций является функция вида: и>(х) = жа(1п1п ... 1п ^)/3, где С - положительное число, которое не зависит от х, а > —1, /3 Е Я.
Пусть шеП, тогда аы := /Зш :=

Если 2 = (2Ь...,2„) € С”, Хэ = г,е^, С = (Сь-.Сп) е С", Ф = ^ег0ц а = (ац,..., ап) 6 Кта, тогда га = г011 ■ ... • гап, а ад + ... + ап,
(1 — г2)а := П(1 - |^'|2)“51 (1 — С2)“ := П(1 ~ здесь и везде ни-
3=1 3=
же выбрана главная ветвь степенной функции. Также, если и — (ад,..., ш„),

щ 6 0,; = 1, ...,п, тогда шц(1 - г) := П ф?(1 - ту), а£(1 - г) := П ш?(1 - Г?),
3=1 3=
Уй е М, г = (п, ...,гп) Е ф„.
Через Ц^ч{ип) обозначим класс измеримых по Лебегу в ип функций /, для которых
-г)(/ |/(гг1>)|ре£тп(гг) '<Э„ Г" '
а!г I < +оо, 0 < р, д < +оо,
где с1тп есть мера Лебега на Тп.
Здесь и в дальнейшем для краткости изложения мы будем называть 11/11^5® Н°РМ0Й и в том случае, когда шт(р, я) < 1, хотя по существу отображение / —> ||/|фр.« является нормой только, когда 1 < р, я < +оо.
Теория функциональных пространств со смешанными нормами типа Ь^ч(ип) берет свое начало в 60-х годах прошлого столетия из работ А. Бене-дека и Р. Панцоне [26]. По этим вопросам опубликован ряд фундаментальных трудов. Полученные результаты освещены в хорошо известных монографиях С. М. Никольского [10], О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [3], X. Трибеля [13].
Положим А^ч(ип) = Н(ип) П ЯР]ч(ип) с соответствующей квази-нормой.
Ясно, что, если / принадлежит Нр(ип) или Ар'<1(ип), то функция Я(/)(г) := /(г,..., г) является аналитической функцией в С/ := и1. Естествен-

1 / ^ = /а -р)”й“2'(/

д(ре^)Чв х

ТТ [ ^(1 - Гз)с1г
X П / 2 ,/ ч ■»
7 — 1 ^ /ЗО—- ( а —1 1 —^
* 0 (1-г,-/>) " V” / р
/п-^а-Р) (1-^Г;; ('(м^г»\ =
о л=1 (1_р)^Н^пН '
1 п / * Р
= /П^-ЙР-р)”^-1 / |9(ре")Г<гИ'ф.

Окончательно, имеем

АР'5 ~
1 / 77 р
J 0,(1-р)( у ь(реге)|р^| с?р=|ы^р,,.
Итак, в случае 0 < р, д < 1 теорема доказана.
Шаг 3. Случай, когда 0<р<1,а1<д< +оо, то есть, когда 1 < 2 < +оо, полностью аналогичен выше рассмотренному случаю 2.п.
Шаг 4. Перейдем наконец к случаю, когда 1 < р < +оо и 0 < д < 1, то есть 0 < ^ < 1.
Так как 1 < р < +оо, то, согласно теореме Хана-Банаха и теоремы Ф. Рисса существует функция ф € 1Р такая, что
/(ги))ф{и!)(1тп{и;),

где [ / ф(ии)р'йтп{ю) ] = 1.

Тогда, с учетом (1.4), получим
[ 1(тт)Чтп(т)У Г» -тг П I1 “ТОре у=