Поточечная скорость сходимости средних Чезаро

• Автор: Дьяченко, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 66 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Поточечная скорость сходимости одномерных средних Чезаро

§1. Оценки сверху для одномерного случая §2. Окончательный характер оценок сверху для одномерного случая

§3. Оценки снизу для всей последовательности средних Чезаро

§4. Оценка скорости сходимости средних Вороного ГЛАВА 2. Поточечная скорость сходимости двумерных средних Чезаро
§1. Оценки сверху скорости сходимости двойных средних Чезаро с ограниченным отношением индексов
§2. Невозможность усиления оценок сверху скорости сходимости двойных средних Чезаро ГЛАВА 3. Поточечная скорость сходимости кратных средних Чезаро
§1. Оценки сверху скорости сходимости кратных средних Чезаро с ограниченным отношением индексов
§2. Окончательный характер оценки сверху скорости сходимости средних Чезаро ЛИТЕРАТУРА

Введение
Диссертация посвящена изучению поточечной сходимости средних Чезаро положительных порядков простых и кратных рядов Фурье, а также некоторых смежных вопросов.
Пусть т - натуральное число, Т — [—тг,7г], /(х) - это измеримая функция т переменных 2тг-периодическая по каждой переменной, которая ограничена на Тт, а
£ ск(/укх (од)

- ее ряд Фурье, где х = (ад, ...,хт), к = (Ад,..., кт) и кх = X) а

ск(Л = ]тЦ /

при к 6 Ът.
Известно, что в кратном случае сходимость ряда (0.1) можно определять различными способами. Обзор результатов по сходимости различных частичных сумм кратных рядов Фурье можно найти в монографии Л.В.Жижиашвили [1]. При этом результаты для разных сумм весьма сильно отличаются друг от друга. Наиболее употребительными, и, по-видимому, наиболее естественными, являются прямоугольные частичные суммы, т.е. суммы, определяемые формулой
^1 1,„(х;/)= £ - £ £к(/)егкх,
м<й |*т|<гт
при € N и (0), где N - множество натуральных чисел. С помощью
прямоугольных частичных сумм можно определить несколько видов сходимости рядов Фурье. Основными из них являются сходимость по прямоугольникам (по Прингсхейму) - когда все индексы независимо стремятся к бесконечности, по
кубам - когда /1 = 12 = ... = 1т —»■ оо, а также А-сходимость (А > 1) по прямоугольникам - когда индексы стремятся к бесконечности независимо, но отношение любых двух индексов не превосходит заданного числа А.
Следует отметить, что в многомерном случае даже прямоугольные частичные суммы ведут себя не так, как одномерные частичные суммы рядов Фурье. В частности, принцип локализации Римана несправедлив даже в случае размерности 2 и даже для квадратных частичных сумм непрерывной функции. Ряд Фурье непрерывной функции двух переменных почти всюду сходится по кубам (Н.Р.Тевзадзе, [2]), по при любом А > 1 он может всюду А-расходиться (Ч.Фефферман, [3]), (М.Бахбух, Е.М.Никишин, [4]), (А.Н.Бахвалов, [5]).
Из сказанного выше вытекает, что проблема восстановления ограничен -ной измеримой функции многих переменных по ее ряду Фурье, если она обладает определенной гладкостью в окрестности заданной точки, а также изучение скорости этого восстановления являются актуальными задачами. В диссертации предлагается использовать для этих целей средние Чезаро. При этом подчеркнем, что речь идет не об аналоге принципа локализации Римана, поскольку, как вытекает из результатов работ И.Херриота [6], В.А.Ильина [7] и Н.Ч.Крутицкой [8], [9], для (С, а)-средних Чезаро аналог принципа локализации верен для всех интегрируемых функций двух переменных лишь для а > 1, либо надо требовать определенной гладкости от функции во всех точках. Мы рассматриваем иную ситуацию: от функции требуются измеримость, ограниченность и гладкость по отношению к фиксированной точке.
В одномерной ситуации является актуальным вопрос о скорости сходимости средних Чезаро в точке, если известно поведение 27г-периодической измеримой ограниченной функции при приближении к этой точке.
Основной задачей, решаемой в диссертации, является установление окончательных в своих терминах оценок скорости поточечной сходимости средних Че-
Из свойств чисел Чезаро и (1.3.1) сразу следует, что

Затем, поскольку
1 1 1 1 П С
л0 -г1п “ Л*8 -г*п гг + /3 — п/3+
имеем (см., также, (1.3.1))

С<+1 < С
пР+1 п '
Наконец, по аналогичным соображениям
С_ пР
Ц < С 1 < ° У"
пР 2—/ п пр (п _ д, + 1^2 /3 пр

к=О А:=
Таким образом (см. (1.3.2) - (1.3.5)),

(0;/)-^(0;/)|<

В то же время, из условия Леммы вытекает, что

пр ф(-)= [

при п —> оо. Отсюда и вытекает утверждение Леммы 4.
Докажем теперь такой результат.
Теорема 5. Пусть /3 6 (0,1), а функция '0(1) £ Ф такова, что
(И < оо,

(ФМУ'и0 J

(1.3.3)
(1.3.4)
(1.3.5)