Приближение тригонометрическими полиномами и поперечники классов периодических функций

• Автор: Кушпель, Александр Константинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 138 c. : ил

ГЛАВА I. Наилучшие приближения классов периодических
функций
§ I. Основные оцределения и используемые результаты
§ 2. Поведение величин (7.дг)2и
§ 3. Оценки величин
§ 4. Поведение величин Ел(Ср,сх>)си Ея(СрНоо)с ••••
§ 5. Асимптотическое поведение величин )

ГЛАВА II. Оценки поперечников классов периодических
функций
§ I. Краткий обзор результатов
§ 2. Существование и единственность интерполяционных сплайнов
§ 3. Оценки поперечников классов С р
пространстве С 2 тс
§ 4. Оценки поперечников классов 1- р,р в
пространстве 1~ р , 1 р ©о
ГЛАВА III. Приближение периодических функций интерполяционными тригонометрическими
полиномами с равноотстоящими узлами
§ I. Основные оцределения и вспомагательные
результаты
§ 2. Оценки отклонений интеполяционных полиномов

на классе функций С р
§ 3. Уклонение интерполяционных тригонометрических полиномов на классе функций СрНсо

§ 4. Оценки уклонений интерполяционных тригонометрических полиномов на некоторых классах
периодических функций
Литература

§ В.I. Постановка задач. Краткий обзор результатов
В работе рассмотрены вопросы приближения периодических функций тригонометрическими полиномами, найдены точные по порядку оценки поперечников в смысле А.Н.Колмогорова классов периодических функций.
В 1983 году появилась работа А.И.Степанца [521 в которой введены классы гяс -периодических функций, совпадающие при конкретных значениях определяющих их параметров с известными классами дифференцируемых функций и способные учитывать свойства функций, которые в шкале известных классов отразить не представляется возможным.
Эти классы определяются следующим образом.
Пусть -Р (х) - суммируемая иягг -периодическая функция
(У €І(0,2К)) И
оо со
-7Г-+2Ї ак (-Р) 0031 кх + &к(-Р) &ккх = 'У А (£х)
*=* К^О
- ее ряд Фурье.
Пусть, далее, Р (к) - произвольная фиксированная функция натурального аргумента и - фиксированное действительное число. Предположим, что ряд

2 <В-2) ГІК)
является рядом Фурье некоторой функции ИЗ 1~{0, 2К) . Эту функцию обозначим через -р^ ( х ) и назовем ( V} уЗ ) -производной функции /(х ) , а множество функций (х) , удовлет-
/ V
воряющих таким условиям, обозначим через /_ ^ . Пусть еще

Рассмотрим тригонометрический полином
4,*^ = - ЯпМ
Из соотношений (3.22) и (3.30) получаем, что при достаточно большом, но фиксированном т
И ^Р>>рг)п- II £^}т,гь ІІ5/ II
^ ^ •/- 4/$' (3.31)

С - СОП$-Ь
Поэтому функция £*>л (-к) =*с~*$(*)п.^ ^ ^ т^зЛ
/ Vу
принадлежит к классу $' . Далее, легко видеть, что
Рт ±&2і-і • Следовательно,
^лЛ =?“Р 1/1 р' > II =
■г е
с">«>ЧЛ/Л0|| 11^, = II - $«. II >
^с"'і?Гя;л,/а|іЯяЛ|/,.-І®лІІ/)/| «.за)
Покажем, что Vі е (і, оо )
II &К II^ > С к1,г (3.33)
с ;>
где і/ї + 1/г' = і . Используя неравенство 2їіпі/2 і-і и производя замену переменных (2К+<)± /2 = ? , имеем
»9*1* =(

-9Г 2 5<7г І-