Особенности функций и геометрия многообразий

• Автор: Солопко, Игорь Олегович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 92 c. : ил

ГЛАВА I. Некоторые вопросы теории Морса гладких односвязных компактных многообразий малых размерностей
§1.1 Об алгебраическом подходе к построению минимальных функций Морса на трёхмерных многообразиях

§1.2 Построение минимальных топологических функций

Морса на односвязных пятимерных кобордизмах

§1.3 0 специальном классе шестимерных кобордизмов. Минимальные функции Морса на этом классе кобордизмов

ГЛАВА 2. Топологическая теория Морса (размерность > 5)

§2.1 0 приведении в общее положение собственного отображения РЕ многообразия в тор многообразие удвоенной (или большей) размерности

§2.2 Точные функции Морса на компактных топологических кобордизмах

§2.3 Минимальные и точные функции Морса на некомпактных кобордизмах

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Настоящая диссертационная работа посвящена некоторым вопросам конечномерной теории Морса. Теория Морса - теория функций на многообразиях - возникла в 30-х годах после того, как Марстон Морс заметил, что множество невырожденных критических точек функции на многообразии находится в непосредственной связи со структурой самого многообразия. Таким образом информация о критических точках различных индексов функции на многообразии позволяет делать выводы о многообразии в целом: например, если только на замкнутом многообразии существует функция с двумя критическими точками - максимумом и минимумом, - то такое многообразие является сферой.
Дадим некоторые определения. Кобордизмом между Уо и - многообразиями размерности П.-1 - называется такое
многообразие размерности п. , что ЭШ. У.УЧ
и V. лч»* . Заметим, что V© или К или оба
могут быть пустыми. Если ЪУ0 ^ $ , то потребуем, чтобы
ЭЛ/Г ( Уо и ЬпЬ V*. ) ЙЫЛО изоморфно (диффеоморфно или гомеоморфно или кусочно линейно изоморфно в зависимости от рассматриваемой категории) ЗУ.* Л • В этом случае УУ называется кобордизмом с краем.
Для обозначения категорий в этой работе приняты такие сокращения: 01 РР - категория гладких многообразий и диффеоморфизмов между ними, Р Ь - категория кусочно линейных многообразий и кусочно линейных изоморфизмов между ними, ТОР - категория топологических многообразий и гомеоморфизмов между ними.

Рассмотрим функцию ^(ААРЛХМо, 1].Г(о)--У„, ГЧО- V, , где (У^пЛУ.) - кобордизм с краем или без него. Точка Х£ ^ ХЛ/^ ^ называется невырожденной критической точкой индекса Л функции £ , если в окрестности этой
точки существует такая локальная система координат, что в ней -р имеет вид: {(х±г ...Хп) (О) + ЭС?+.. .+ а£--X* Точка X € Л/* называется регулярной точкой функции £ , если в окрестности X существует такая локальная система координат, что в ней -р имеет вид:
Функция £■.(№*, Ус, УЛ-* С 0,1], {"(о) = У„
регулярная всюду на У/^ , за исключением невырюаденных крити-ческих точек (различных индексов), лежащих во внутренности многообразия ЛГ , называется функцией Морса на кобордизме (УГЛУ) . Морсом было показано, что на любом гладком кобордизме существует такая функция.
Первоначально техника работы с критическими точками требовала сложных технических рассуждений, связанных с векторными полями - градиентно-подобными векторными полями функции -р Позднее Смейлом и Уоллесом была разработана теория ручек, которая более удобна при доказательстве теорем. Основная идея заключалась в следующем: кобордизм тълл) с единственной критической точкой индекса А гомеоморфен фактормногообразию У.*[о,1] Ц, 0ЛХ О"-* . где
<=*^ 41} диффеоморфизм на образ. Приклейка О* * Р* Л вдоль 0К~Л к верхнему краю кобордизма и называется
приклейкой ручки индекса А . Используя процедуру сглаживания углов (см. С 5] ) получаемое многообразие можно считать гладким, что позволяет теории ручек быть весьма полез-

Рис. б.
Пусть (уг,ъ,ъ) некоторый кобордизм. Не умаляя общности будем считать, что Уо и У1 непусты. Функцию Морса на М,У„,У4) назовём функцией Морса типа
В .если Л/о^) =Л/4'({) = Л/2({)=/^(^х//5({);//й('{)
и комеридианные сферы ручек индекса 3 устроены таким образом, что существует вложение непересекающегося семейства дисков в верхний край воротника у0*л
, что в
каждом.из дисков О5" имеет место ситуация, изображённая на Рис. б.
СЛЕДСТВИЕ I.4.2. На кобордизме класса В существует функция Морса типа В
Доказательство.этого следствия, как и следствия 1.4.1. достаточно очевидно.
Заметим, что функция Морса типа В автоматически является минимальной функцией Морса.