Структура пространства порядково-непрерывных операторов

• Автор: Стрижевский, Владислав Зигмундович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 100 c. : ил

Глава I. Регулярные и порядково-непрерывные

операторы в ^-пространствах

§ 1.1. Компонента положительного оператора

§ 1.2. Метод $ -соответствий

§ 1.3. Тензорное произведение ^-пространств

Глава 2. Решеточно-нормированные пространства

и мажорированные операторы

§ 2.1. Полнота и пополнение

§ 2.2. О пространстве мажорированных операторов

§ 2.3. Продолжение мажорированных операторов

§ 2.4. Пространства непрерывных вектор-функций

Литература

Наличие естественных порядков во многих объектах классического анализа привело к интенсивному развитию теории упорядоченных векторных пространств, основы которой были заложены в работах Я.В.Канторовича и его школы [18-20, 64^ . Значение теории упорядоченных векторных пространств определяется тем, что, с одной стороны, она служит мощным средством исследования конкретных пространств, и, с другой стороны, существуют тесные связи между этой теорией и такими разделами математики, как общая теория банаховых пространств, теория меры и интеграла, теория функций, выпуклый анализ, общая топология. Особенно усилились эти связи за последние годы. Обзоры по этой тематике имеются в работах [ 10-12, 18, 29, 34, 39, 5о[|
Одним из важнейших результатов теории упорядоченных векторных пространств является спектральная теорема Фрей-денталя (см., например, [20, 15, 70] ). По существу эта теорема показывает, что если <Х , £ являются элементами -пространства и О ^ -И ^ 6. , то может быть аппроксимирован линейными комбинациями "осколков" £ , т.е. таких элементов р ( О 4/3 < е ), ЧТО /ЗА (е. -{>)■= ®. Этот результат, имеющий многочисленные интересные приложения [15, 66 ] , подчеркивает важность изучения структуры полной булевой алгебры "осколков" б - базы главной компоненты . Информация о базе ^[-пространства {^
в свою очередь, приводит к выяснению устройства самой компоненты . Особенно важной и трудной эта проблема
является для пространства регулярных и, в частности, порядково-непрерывных операторов. Она связана с вопросами

аналитического описания операторов, действующих в 7(-про-странствах, такими, как например, интегральные и факториза-ционные представления (5,6,9,10,15,16,29,55,58,63,67-72, 77-80 ]
Одним из основных инструментов исследования базы пространства регулярных операторов является дизъюнктность. Первые результаты в этом направлении были получены А.Г.Пин-скером и, частично, Б.З.Вулихом (см. (15, 20] ) и относятся к пространству порядково-непрерывных функционалов.
Ими получен следующий признак. Для дизъюнктности положительных порядково-непрерывных функционалов необходимо и достаточно, чтобы были дизъюнктны компоненты их существенной положительности С15, 20 ] . Хотя этот признак в части достаточности остается справедливым и для произвольных положительных операторов, он не переносится в полном объеме на операторный случай. Объясняется это тем, что компонента существенной положительности порядково-непрерывного положительного оператора недостаточно информативна и, в частности, не отражает структуры его образа. Заметим, что этот признак не переносится даже на случай произвольных положительных функционалов. Признак дизъюнктности порядково-непрерывных функционалов привел сразу же к аналитическому описанию базы пространства порядково-непрерывных функционалов. Вслед за этим были получены общие представления порядково-непрерывных функционалов (15, 20, 16 У и реализационные теоремы для пространства регулярных функционалов (16, 28, 35 2 • А.Г.Пинскером было доказано, что компоненты порядково-непрерывных и сингулярных функционалов образуют разложение пространства регулярных функционалов [20]

<Л'о(°% определяет нулевой билинейный функционал Е х Е
—* £ , являющийся элементом пространства В и (Е, Е; й) , т.е.
для произвольных X £ Е и у е Р
Покажем, что функционал ^’сТ'Е&Е ^ В (элемент У/-пространства Ъ^{Е>Е^к')°° ) является нулевым.
Через -I обозначим вложение рефлексивного Л -пространства В, (Б,Р;*) во второе сопряженное Вь (Е} Я; /?) °°= (£<®р) ° Тогда для каждого функционала У [В)Г; й) °- Е<&Е выполнено соотношение
Билинейный функционал <~£(^оТ) является элементом пространства В^(В}Р; Ю . Поэтому для произвольных х £ Ь и у 6 /• , положив У = х , получаем
О ~ [^'°Т] С эс &р - <= х®у (-с^Су'оТ))
- Г<г"(У-Т)]
Значит, билинейный функционал с 1 (^°ТЕ7) является нулевым элементом ^-пространства В и (Е}ВК) . Стало быть, и <^о71~Щ) (как элемент пространства В„(Е,Е;В) ~( Е ®Е)С ). Произвольность показывает, что
Т=$. Инъективность отображения Т"'—* доказана.
Покажем теперь сюръективность этого отображения.
Пусть О-- В и 4 <= Ь„ (Е, Е; В) . Тогда
<(<) €■ 5* (Е®Е)С