Параметрические представления и оценки роста для некоторых классов мероморфных и голоморфных функций в n-связных областях

• Автор: Багдасарян, Давид Тадевосович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 80 c. : ил

- 2 -

ГЛАВА I. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ
' ФУНКЦИЙ В МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ
§ I. Параметрические представления классов
т (С) и -Н,
§ 2. Параметрические представления классов
о,--,сОт,С}
§ 3. Об одной факторизации мероморфных функций в
многосвязной области
ГЛАВА II. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В ЕДИНИЧНОМ
КРУГЕ И НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ
§ I. Представления функций класса т и}) и
одна интерполяционная задача в нем
§ 2. Оценка роста произведений М.М.Джрбашяна
57^2,2.п) и ^(2,2«)
§ 3. Оценка роста функций с конечным интегралом
типа Дирихле
ЛИТЕРАТУРА

В настоящее время хорошо известны исследования Ф.Рисса [I], Р.Неванлинны Ю. И.Привалова [3J, М.Джрбашяна [4,5] , Л.Карле-сона [б] и других авторов, посвященные изучению определенных классов голоморфных и мероморфных функций в единичном круге, их представлениям и другим важным вопросам.
В исследованиях М.М.Джрбашяна для этих целей приводится построение новых операторов, являющееся существенным обобщением оператора дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувиля.
Это делается так. Условимся говорить, что функция CJ(X) принадлежат классу SL , если она удовлетворяет следующим условиям:
1) СО(х) неотрицательна и непрерывна на [0,l), причем
С0(0) =4 , Jo)(x)dx с too (I)

2) Для любого г (О£Г*1)

j(jJtx)dx>0

функция Р(х)£ Г)*г О , если она в окрестности точки £-0 удовлетворяет условию Липшица.
Пусть 0(х)еЛ . К классу отнесена любая функция per; , представимая в виде

Р (ОМ, PCr)-rJ ^prclx rc-(o,i] (3)

При dJ(x)eXI и pcrjeftj введен в рассмотрение оператор
«М (4)

Предполагая, что в надлежащем классе допустимых функций 4>(х) . определенных на (0,1} , правая часть существует хотя бы почти всюду.
В классе функций ц>(х) , непрерывных на [ОД] и обладающих
на [ОД] непрерывной производной ц‘(х) , оператор допускает следующее представление:

[^[чч^ - ЧЧО) + х] ^'(хг)ид(х)с1т-

х (5)
х*Ш)-

В работе М.М.Джрбашяна [4] с помощью этих операторов устанавливаются принципиально новые аналоги классических формул Коши, Шварца и Пуассона для представления аналитических и гармонических функций внутри круга |?ДК
Доказано, что, если функция
*(ге»Ь1ак(ге‘Т
к=о
голоморфна в круге |г|Д , СО(х^Л » р(Г)е&, » то
1°. функция
ПМНДе*) (7)
голоморфна в том же круге Д| Д
2°. Для любого _р(о*/Д) справедливы интегральные формулы:
Д>=£)‘сш). (8)

(ВЧА

' к=0>-,г* (3.39)

где число (Т - достаточно близко к I, а Тк№) определяется условиями (3.32)-(3.36).
Тогда р(2) представима в виде
где С(2Д) те же самые, что и в теореме 3.2°.
Доказательство. Представим функцию [-(2) в виде (2.4), где функции Рк(2) удовлетворяют условиям (2.1)-(2.3). Из теоремы
3.2 и из леммы 3.3 следует, что функции ВТО*'") можно представить в виде (3.22). Представляя функции В<*(“г), к-о.-, т в этом виде, потом переходя к переменному 2=20+1^иГ или 2-сДдр соответственно и подставляя эти выражения в (2.4) получим утверждение теоремы.