Спектральный анализ решений функциональных уравнений в банаховых пространствах

• Автор: Елисеев, Денис Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 103 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Основные функциональные пространства и примеры банаховых алгебр

2. Банаховы модули

3. Критерии почти периодичности некоторых классов ограниченных решений функциональных уравнений

4. Критерии а-почти периодичности

ГЛАВА II. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Однородные пространства

2. Расщепляемые однородные пространства и матричное представление операторов

3. Определение и свойства периодических операторов
4. Уравнения с “периодическими” коэффициентами
ЛИТЕРАТУРА

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
N - множество натуральных чисел.
Ъ - множество целых чисел.
К - поле вещественных чисел.
R+ = {t Є Ш : t > 0}.
С - поле комплексных чисел.
Т = {7ЄС:|7І = 1} - единичная окружность.
suppf - носитель функции /.
||ж||х - норма вектора х из банахова пространства X.
G - локально компактная абелева группа с аддитивной формой записи алгебраических операций.
S - счетная дискретная абелева группа с аддитивной формой записи алгебраических операций.
G - группа двойственная группе G.
И = il(G, = ili(G, Y),Иг — ІІ2(G, Y) - однородные пространства
векторных функций, определенных на G, со значениями в Y.
U = H(G, С).
S(g) - оператор сдвига на д Є G, т.е. (S(g)x)(h) = х(д + h), h Є G.
1/(7) - оператор умножения на 7 Є G, т.е. (V{‘y)x)(g) = 7(д)х(д),д Є G.
f - преобразование Фурье функции /.
А - преобразование Фурье оператора А.
Hom(X,Y) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), действующих из X в Y.
EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X, т.е. EndX = Нот{Х) X).
Н ошд (ilj, Д2) - пространство S-периодических операторов из
Нот(ііі, ІІ2).
EndilQ — Ноте, (A. U).
Homi(A, Чф - подпространство S-периодических операторов из Нот (Ні, ІІ2), преобразование Фурье которых имеет абсолютно сходящийся
ряд Фурье.
Еп(Ш1 = Нот(Я, И).
Ьр(й, У), р е [1,оо) - банахово пространство классов совпадающих почти всюду и измеримых по Бохнеру векторных функций, действующих из С в У, суммируемых со степенью р, с нормой
ЬО0(С, У) - банахово пространство классов совпадающих локально почти всюду и измеримых по Бохнеру существенно ограниченных векторных функций, действующих из С? в К, с нормой
Съ(С,У) - подпространство непрерывных ограниченных векторных функций ИЗ £оо(в, У).
Сиъ(С,У) - подпространство равномерно непрерывных векторных функций из Сь(0,У).
Сп(Ж'п, У) - пространство п-раз непрерывно дифференцируемых векторных функций, п-ая производная которых принадлежит Сь(С, У).
£000(6*, У) - подпространство пространства У), состоящее из
функций, стремящихся к нулю на бесконечности, т.е. удовлетворяющих условию: для любого е > 0 существует компакт Ке С С такой, что
Ьр(С) = Ьр(С, С). 1Р(У) = ЬР(%,У). 1Р = 1Р( С).
Пафос = ейввир ||а;(
100(У) = ь00р,У).
1оо — ^оо(С).
еяв вир ||а;(^)||у < с.
д£вКе
Съ{С,У) = Сь{С,У)(М^{С,У). с0{Ът,У) = Сй{71п,У) с0(У) = с0(%,У).

ни не выше п и через У{С, Y) - множество всех полиномов, действующих из G в Y (степень не фиксирована).
Таким образом, в случае G = Z полином степени п есть функция вида

p(s) = ^ a,js s G Ъ, ап ф 0, dj € У ; j=о
в случае G = RTO - функция многих переменных p(t), t = (£1,tm) G Mm, равная сумме произведений своих аргументов, возведенных в различные степени так, что общая степень каждого из слагаемых не превышает п, и в случае G — Т, существуют только полиномы нулевой степени р(у) = Const, 7 G Т.
Функции вида

где тi G G, 0 ф Pi G СР(G, Y), m G N, назовем обобщенными тригонометрическими полиномами (квазиполиномами).
Определение 2.5. Пусть а : G —)■ М+ - весовая функция. Замыкание обобщенных тригонометрических полиномов, входящих в Cua(G,Y), обозначим символом APa(G,Y) и функции из APa(G,Y) будем называть a-почти периодическими функциями.
Пример 2.4. Множество a-почти периодических функций Y)
является подмодулем Та(К)-модуля Сиа(Ш., Y).
Определение 2.6. Пусть X - банахов 5-модуль. Фактор-модулем модуля X по подмодулю F С X назовем банахов 5-модуль X/F с операцией
ах = âx, a G 5, х G X/F, х G X.
Введем понятие спектра Берлинга векторов из банаховых модулей.
Определение 2.7. Пусть М - произвольное подмножество из 5-модуля X. Спектром Берлинга множества М назовем подмножество А(М) из SpB тех характеров у, ядро которых содержит идеал 1(М) = {a G 5 : ах — 0 Ух Е М} (другими словами, уо ^ А(М) тогда и только