О корректности прикладных задач фильтрации жидкости в пористых средах со свободными границами

• Автор: Губкина, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Горно-Алтайск, Новосибирск
• Количество страниц: 90 с.

Введение

Глава I Конформные отображения многоугольников и областей, ограниченных полигонами и свободными поверхностями
§ 1. Конформные отображения многоугольников
1°. Задача Гильберта, формула Кристоффеля - Шварца
2°. Функциональное уравнение
3°. Деформация простых полигонов
4°. Сходимость метода циклической итерации
5°. Аппроксимация оператора
6°. Оценка погрешности аппроксимации
7°. Сходимость численного метода циклической итерации
§ 2. Конформные отображения со свободной границей
1°. Постановка задачи
2°. Пример
3°. Пример II
Глава II Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченном пористом слое
§ 1. Принцип непрерывности для фильтрационных потоков жидкости
1°. Постановка фильтрационных задач
2°. Представление конформных отображений
3°. Система уравнений для параметров
4°. Принцип непрерывности
§ 2. Априорные оценки и локальная единственность решения
§ 3. Построение начальных полигонов. Однозначная разрешимость
уравнения
1°. Пористый слой с двумя бесконечными вершинами (область типа полосы)
2°. Пористый слой с одной бесконечной точкой(область типа полуполосы).
3°. Конечная область фильтрации (рис.1)
§ 4. Барьерная кривая для свободной границы
1°. Двусторонние оценки производных
2°. Структура области в окрестности концов полигона
3°. Построение барьерной кривой
§ 5. Обобщения
1°. Криволинейные границы
2°. Нестационарные фильтрационные потоки
Глава III Прикладные контактные задачи фильтрации жидкости в пористых средах
§ 1. Постановка контактных задач теории фильтрации
§ 2 Земляная плотина на водопроницаемом основании
1°. Глубина водоносного слоя бесконечна
2°. Водоносный слой конечной глубины (область типа полосы)
3°. Водоносный слой вниз по потоку ограничен (область типа полуполо-

4°. Водоносный слой конечных размеров
5°. Перемычка Герсеванова
§ 3. Земляная плотина с наклонной поверхностью дренажа
1°. Непроницаемое основание
2°. Конечная глубина (аналог задачи 4° §2)
3°. Бесконечная длина водоносного слоя в верхнем бьефе
4°. Фильтрация из канала в симметрично расположенные водоприемники
5°. Дренированное дно канала
6°. Водоносный слой бесконечной глубины
7°. Свободная граница бесконечна
§ 4. Двухжидкостные фильтрационных потоков
1°. Контактная граница пресных и соленых вод под дамбой
2°. Поверхность раздела в прибрежном напорном водоносном пласте
3°. Конечный водоносный пласт
4°. Конус подошвенных вод
5°. Линза пресных вод
5.1°. Симметричный поток
5.2°. Общий случай
§ 5. Однозначная разрешимость контактных задач
1°. Полигональные границы
2°. Принцип непрерывности в контактных задачах
3°. Анализ результатов
Глава IV Фильтрация жидкости в неограниченном пласте с наклонным водоупором
§ 1. Общая задача фильтрации
§ 2. Фильтрационный поток грунтовых вод по наклонному водоупо-
ру под горизонтальной дреной
§ 3. Фильтрационный поток жидкости из канала на наклонный во-
доупор
Г. Фильтрация жидкости из прямолинейного канала на горизонтальный
водоприемник, находящийся под наклонным водоупором
2°. Фильтрация жидкости из прямолинейного канала на наклонный во-
доупор
3°. Дно канала и водоупоры - произвольные полигональные границы
Глава V Алгоритмы численного решения задачи о параметрах
§ 1. Задачи безнапорной фильтрации с горизонтальным дренажем .
1°. Фильтрация жидкости в полигональном канале со свободной границей, выходящей на горизонтальный дренаж
2°. Представление конформных отображений
3°. Система уравнений для параметров
4°. Эквивалентное уравнение для вектора и = (щ,мп)
§ 2. Метод циклической итерации
1°. Преобразование функционального уравнения
2°. Деформация простых полигонов
3°. Сходимость метода циклической итерации
§ 3. Приближенное решение задачи о параметрах
1°. Аппроксимация одномерных интегралов
2°. Оценка погрешности аппроксимации АД
3°. Аппроксимация оператора
4°. Сходимость численного метода циклической итерации
5°. Земляная плотина на непроницаемом основании с горизонтальным
дренажем
6°. Плотина с наклонной поверхностью дренажа
§ 4. Общий случай аппроксимации оператора задачи
1°. Аппроксимация двумерных интегралов
2°. Оценка погрешности и сходимость численного алгоритма
Заключение
Литература

Здесь в |П'| = П'|С — Ьк^к входят только степени рк < 0, а в П" все рк > 0, к = 1^. Таким образом предположение о том, что г = — £,•) —?> О неверно, т.е. найдется е > О,
для которого (р — > £ > 0.
Полностью аналогично рассматривается случай = оо, ф оо, только при р — V + 1 < 0 нужно взять сторону р — |г,- — г,-_
Итак осталось рассмотреть только случай, когда в число сближающихся ^ входит один из параметров ^0Дп+ь например, Ь0 = —1, т.е (<_,■ - ^0) -7 0. Отметим , что 0 < у < гтг, так как согласно (8*) 1т — > е > 0. Положим
где П*(С) = П(С)П01(С),7о = 0 при а0 > | и 0 < 70 С 1 при а0 = |,/?0 = -±-70(черту над Р0 будем опускать).
Отнесем, соответственно, вЕ'и Е" все Рк < 0 и все Рк > 0, к = 0,7 (До = До) и обозначим г/ = — Е'Рк, р = Е"Д*,.
Предположения: ^ — г/ + 1 < 0, г = (^ — £0) -7 0, 1 < у < т — 1 Согласно выбора Д0 = — § — 7о имеем М(£о) ф 0, оо, поэтому включение в число
сближающихся параметров в рассматриваемом случае не приводит к дополнительным трудностям.
Предположения: р. — V + 1 > 0, г = — ДД —> 0, 1 < у 2 т —
Полностью аналогично случаю г = (^ — £,) -7 0, г > 1 устанавливается, что |ЛГ| =
Е(КГ) -7 0 при г -7 0, где = {С| 1т( >0, |С — £0 — г/2| = г}, И : Е -7 13.
Так как прообраз г,(г) точки 1о — г/2 — ^*(г) £ Й/- лежит на свободной границе
Ь, то дополнительно нужно доказать, что г* = _Р[£*(г)] -7 0 при г —Э 0 (У(£о) = 0).
при г —> 0. Итак 1к -7 0 при г —7 0, Л: = 1,/.
Окончательно установлено, что если г = -7 0, то 11п Д| -7 оо, т.е возникает
противоречие с условием (6) простого полигона Р. Терема доказана.
Теорема 3 ( о локальной единственности) Если решение и Є О, уравнения (5) существует, то
Доказательство. Дифференцируемость Д = дк(и,а) по аргументам при представлении их в форме (3) установлена в [9], а для представления (4) она легко проверяется непосредственно.
Произведем перенормировку конформного отображения г : Е -7 О, полагая, напри-меР> X = С-1! Хк = ЕЦ1 (** Ф 0)- Не меняя обозначений переменной ( будем считать, что
ЩС) = (С - <оГ°-1/2+70п*(С)М(С), По(С) = П(С - ік)НС -

Учитывая, что ^Рк—р — і/ > — 1, получим