Орторекурсивные разложения по неортогональным всплескам

• Автор: Кудрявцев, Александр Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
Введение

Орторекурсивные разложения

Неортогональные всплески

Цель работы

Структура и основные результаты работы

1 О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам

1.1 Обобщенные орторекурсивные разложения

1.2 Виды рекурсивных разложений по всплескам

1.3 Теоремы о сходимости разложений

1.4 Доказательство теорем о сходимости орторекурсивных разложений с конечными пачками
1.5 Доказательство теорем о сходимости рекурсивных разложений других видов
1.6 Доказательство теоремы о сходимости рекурсивного разложения по системе Ф
1.7 Упорядоченные орторекурсивные коэффициенты
2 О расходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам
2.1 Формулировка теоремы о расходимости
2.2 Орторекурсивное разложение в пространстве последовательностей
2.3 Вспомогательное конечномерное орторекурсивное разложение
2.4 Доказательство теоремы о расходимости

Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности
3.1 Об устойчивости орторекурсивных разложений в гильбертовом пространстве к вычислительной погрешности
3.2 Об устойчивости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам к вычислительной погрешности
О скорости сходимости орторекурсивных разложений по
неортогональным всплескам
4.1 Формулировка теоремы о скорости сходимости
4.2 Оценка скорости сходимости для обобщенных орторекурсивных разложений
4.3 Доказательство теоремы о скорости сходимости
4.4 Примеры оценок скорости сходимости
Дополнения
5.1 Рекурсивные разложения в гильбертовом пространстве
5.2 Критерий переполненной орторекурсивной системы разложения
5.3 О неортогональных всплесках в пространстве Ь*(Ш.п)
Введение
Теория ортогональных рядов (рядов Фурье) является одним из классических направлений математических исследований, которое начало развиваться еще в первой половине XIX века. По всей видимости, первыми работами, в которых изучались ортогональные разложения, являются труды Д’Аламбера и Эйлера о колебании струны и работы Фурье о распространении тепла. В настоящее время имеется большое количество публикаций, посвященных как общей теории ортогональных рядов (см. [1], [6], [7]), так и разложениям в ряды Фурье по конкретным системам (см., например, [4], И).
В последние десятилетия в результате широкого внедрения компьютерных технологий разложения в ряды Фурье по различным ортогональным системам стали широко использоваться на практике при решении задач хранения, обработки и передачи данных различной природы. При этом рассматриваемый объект (изображение, аудиофрагмент, результаты сделанных спутником измерений и др.) моделируется некоторым элементом / пространства со скалярным произведением 77, в 77 выбирается подходящая, учитывающая специфику конкретной задачи полная ортогональная система {е,У где J — или некоторое натуральное число (в случае конечномерных пространств 77), или бесконечность, и работа ведется не с самим элементом /, а с его разложением в ряд Фурье по системе {е3У]=х, то есть рядом Х)/=1 где }, = Этот
ряд сходится к элементу /, и в случае бесконечномерных пространств его заменяют на частичную сумму, приближающую элемент с некоторой допустимой погрешностью.
Причинами, приведшими к широкому внедрению рядов Фурье в решение прикладных задач, являются такие свойства ортогональных разложений, как простота вычисления коэффициентов, наличие тождества Бесселя, обеспечивающего возможность быстрой оценки погрешности,

I (т.е. I € Л;). Тогда по определению 1 имеем:
53 |(и,<р„,г)|2 = 53 v„,i'( |(| 1 < 55 Kv’.po.m)! f 53 f 53 i(u>7,n,()i2'] (i-26)
meZ |I| Постоянная
£(
< /'Ha:)l5I(:E~m)lcfe = [ (13
7r meZ 7o VmeZ

|(/?(x — m)| I dx
конечна, так по условию (АО) функция (р € £(К). Разделив неравенство (1.26) на К17! (Рп,0|2 и возведя в квадрат, имеем:
53 к«,)12 < в2м 53 !йп,г|2- а-зт)
|1|<ь„ |1|<£,„
Согласно тождеству Бесселя (1), из неравенств (1.25) и (1.27) окончательно получаем:
1|Р»Н2 = 1М12 - 53 к/ < (1 - 1М12 = 2|М|2, (1.28)
т.е. ||Р!гУп|| < <у = &{Ф) < 1, что и требовалось.
3. Для произвольной функции д € А2(М) выражение Рк(д) определено равенством (1.6). Подставим тождество Бесселя ||