О некоторых спектральных свойствах двучленных операторно-дифференциальных уравнений

• Автор: Дишдуров, Масим Гасум оглы
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 133 c. : ил

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С НОРМАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ НА ПОЛУОСИ И НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ .. 16 § I Постановка задачи и основные обозначения
§ 2 Интегральное уравнение для операторной
функции Грина
§ 3 Первая производная функции Грина
§ 4 Вторая производная функции Грина
§ 5 Дальнейшие свойства функции Грина
§ 6 0 резольвенте операторного уравнения ШтурмаЛиувилля на конечном отрезке
Глава II. АСИМПТОТИКА ЧИСЛА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУЧЛЕННОГО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
§ I Постановка задачи и метод ее решения
§ 2 Оценки для оператор-функции .. К-И
§ 3 Оценки повторных ядер
£ 4 Асимптотика функции Грина
§ 5 0 дискретности спектра и асимптотике числа
собственных значений
Глава III. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СУММ СТЕПЕНЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ПОЛУОСИ
§ I Постановка задачи и некоторые неравенства,
связанные с собственными значениями оператора Штурма-Лиувилля

§ 2. Асимптотические формулы,•связанные с отрицательными собственными значениями
ЛИТЕРАТУРА

Начало изучения спектральных свойств операторно-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами заложено в работе А.Г.Костюченко и Б.М.Левитана [18]. В этой работе рассмотрен дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей оси, потенциал которого является обратным к вполне непрерывному самосопряженному оператору. В ней установлена дискретность спектра и получена асимптотическая формула для числа собственных значений рассматриваемого оператора. Далее, этой теме посвящены многочисленные исследования как отечественных, так и зарубежных авторов. Ниже мы укажем некоторые из этих работ.
Настоящая диссертационная работа также посвящена изучению некоторых спектральных свойств дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами. Она состоит из трех глав.
Первая Глава IIосвящена изучению функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля на полуоси, потенциал которого является неограниченным нормальным оператором и граничным условием в нуле, содержащим неограниченный самосопряженный оператор.
В этой главе так же исследовано свойство функции Грина оператора, порожденного выражением Штурма-Лиувилля, на конечном отрезке с самосопряженным операторным коэффициентом.
Функция Грина уравнения Штурма-Лиувилля, заданного на всей оси с самосопряженным неограниченным операторным потенциалом, впервые исследована в работе Б.М.Левитана [25J. В дальнейшем исследованию функции Грина и асимптотике спектра различных one-

где у(х)*1±&ЗТ; н)
В дальнейшем на операторный коэффициент 0(х) будут накладываться следующие условия:
1. При всяком фиксированном Х£& Зт], 0.(эс) есть самосопряженный оператор, ограниченный снизу единичным оператором, И (Хх) вполне непрерывен В Н
2. Пусть (Я) ± о1*г (я) ± • ■ ■ £ с1п (Эе.) ± -собственные значения оператора 0(х) в /-/ и при всяком фиксированном X 6 ш сходится ряд ^ и его сумма
непрерывна на [о,я].
3. Операторная функция О, (X) слабо измерима, т.е. для любых 6 Н функция (/0_(х)£} <£.) измерима в смысле Лебега.
Как известно, в условиях 1)-3) оператор Ь0 имеет дискретный спектр.
Обозначим черезу*^ , •")/**• •"собственные значения оператора /,0 в порядке их роста.
Так как 1>0 - неограниченный оператор, поэтому при
Предположим, что операторная функция ЪС({) определена в [о, 77] со значениями в пространстве {-{ . и имеет непрерывную вторую производную всюду, кроме X , где
и'(х+о)~ п'Сх-о)~ в? (1*6.3)
здесь В - единичный оператор в
Далее, ]/(}) - операторная или векторзначная функция в