Параметризация каустик фредгольмовых функционалов

• Автор: Чемерзина, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление

Список основных обозначений

Введение

I. Элементы локального анализа фредгольмовых функционалов

1. Фредгольмовы функционалы на линейных пространствах

1.1. Фредгольмовы операторы

1.2. Фредгольмовы функционалы

1.3. Локальный анализ фредгольмовых функционалов

2. Фредгольмовы функционалы на многообразиях

2.1. Функционалы на банаховых многообразиях с

бесконечномерными римановыми оснащениями

2.2. Критические орбиты и квазиинвариантные
подмногообразия
3. Вифуркационые диаграммы функционалов
4. Редуцирующие схемы
4.1. Схема Пуанкаре
4.2. Нелокальная схема Ляпунова - Шмидта
4.3. Ритцевская аппроксимация ключевой функции
4.4. Схема Морса - Ботта
4.5. Общая редуцирующая схема
II. Алгоритм Релея - Шредингера и параметризация каустик
1. Алгоритм Релея - Шредингера и его обобщение
1.1. Параболические множества функционалов
1.2. Построение спектрального множества
1.3. Случай простого собственного значения
2. Вычисление асимптотик более высокого порядка
3. Возмущение кратного собственного значения
4. О параметризации квазиинвариантного сфероида
5. Примеры параметризации каустик
5.1. Пример 1 (через вычисление детерминанта) .
5.2. Пример 2 (по новой схеме)
5.3. Фредгольмовы функционалы с простейшими
особенностями
III. Приложения к краевым задачам
1. Краевая задача для уравнения Дуффинга
2. Краевая задача для ОДУ четвертого порядка с квадратичной нелинейностью
Литература
Список основных обозначений
Е — линейное банахово пространство.
М — гладкое банахово многообразие, вложенное как гладкое подмногообразие в Е.
V — гладкий функционал на М, гладко продолженный на Е (продолжение обозначено тем же символом V).
F — линейное банахово пространство (пространство значений градиента).
Н — линейное гильбертово пространство, определяющее рима-нову структуру на М (Е аффинно и непрерывно вложено в F, а F линейно и непрерывно вложено в Н, Е плотно в Н).
/ : Е —> F — градиент V (/ = grad У), то есть 8V
— (x)h = (f(x),h) Ух Є Е Ук Є Т(Е)
((•,•) — скалярное произведение в Н).
V2F(a) := n(x)g(a) — второй кодифференциал функционала V. П(ж) - ортогональный проектор на Тх(а).
Indiy, а) — индекс Морса (морсовской) точки а и критической орбиты orb(a) относительно функционала V (максимальная размерность подпространства, на котором отрицательно определен второй кодифференциал).
Та{М) — касательное подпространство в F к М.
Na(M) — нормальное подпространство в F к М.
К — квазиинвариантное подмногообразие.
Ind{V, К) — индекс Морса регулярного (морсовского) квазиин-
При А = 0 в точке а имеем

—д0(а) = А{а) ■ У2У0(а)
(вследствие того, что а — критическая точка: У1Т/о(а) = 0). Так как А(а) и второй кодифференциал являются изоморфизмами, то их суперпозиция изоморфно действует из Та(М) в То. Следовательно, отображение до(-) : II —► То удовлетворяет в точке а условиям теоремы о неявной функции, в соответствии с которой найдется такое (единственное) гладкое отображение ф : О —> и (О — некоторая окрестность нуля), что ф(0) = а и д{ф{А)) = 0 УХ. Из последнего соотношения вытекает, что ф(А) - критическая точка для У, так как
^ВД(А)) = А(ф(Х))~1 ■ дх(ф(Х)) = 0.
Из открытости множества изоморфизмов в пространстве линейных операторов, действующих в любой фиксированной паре банаховых пространств, легко получить морсовость критических точек ф(А) при достаточно малых А. Лемма доказана.
Если воспользоваться теоремой С.Л.Царева [52] об одновременной продолжимости вторых дифференциалов У на общее энергетическое пространство (гильбертово пространство, в котором производная от градиента У представима в виде оператора Лере - Шаудера), то нетрудно установить, что для всех точек ф(Х) при всех достаточно малых А индекс Морса будет постоянным.
Предложение 6. [Лемма о сохранении морсовской критической точки при возмущении многообразия [52], [44]]