Оценки минимальной нормы операторов продолжения для пространств Соболева

• Автор: Горбунов, Александр Львович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Глава 1. Точные оценки минимальной нормы операторов продолжения пространств Соболева

§1. Теоремы об оценках производных финитных функций

1.1. Неотрицательные ядра усреднений, функции типа “шапочки”

1.2. Ядра усреднений, ортогональные полиномам

§2. Интегральное представление

§3. Двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения в одномерном случае

3.1. Оценка сверху

3.2. Оценка снизу

§4. Разбиение единицы

§5. Двусторонняя оценка точной постоянной в неравенстве для Lp - нормы промежуточной производной
§6. Оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения для специальной липшицевой области
6.1. Оценки усреднений со сдвигами для ядер с моментами равными нулю
6.2. Оценки Lv - нормы производных продолженной функции
§7. Двусторонняя оценка минимальной нормы операторов продолжения для открытых множеств с границей класса Lip
Глава 2. Оценка сверху минимальной нормы операторов продолжения, не зависящих от порядка дифференцирования, для пространств Соболева
§1. Оператор Стейна
§2. Оператор Митягина
Литература

Данная диссертация относится к теории пространств Соболева, кото--рые играют важную роль в современном анализе и его приложениях.
В диссертации рассматриваются операторы продолжения

действующие в пространстве Соболева УУ‘{П), где п ,( е (V, 1 < р < +оо, Пей" - открытое множество класса 1Лр 1, состоящем из измеримых функций /, для которых имеет смысл и конечна норма

Подробное изложение теории пространств Соболева имеется в книгах [29], [41], [4]. Результаты изучения различных направлений задачи о продолжении функций из пространств Соболева можно найти в [21], [7], [41], [4], [17].
Рассмотрим задачу о продолжении функций класса где 1 < р < +со, I е N0, из некоторой конечной области П на множество (Л с Яп, П с Й1, с сохранением класса. Задача состоит в отыскании оператора (по возможности линейного) Т : 1Рр(П) -+ (Т/)(х) = /(г), х е П, для которого
справедливо неравенство

где постоянная СДГ.^Р.ПО - зависит от способа продолжения (т.е. конструкции оператора Т), показателя гладкости I, областей (1 и
Вопросу о продолжении функций посвящена обширная литература. Упомянем некоторые центральные работы этого направления.
В статье Хестинса [33] указан сравнительно простой прием продолжения функций класса С'(й) для 3(1 е С1. В.М. Бабич [1] и С.М. Никольский распространили прием Хестинса на классы №^((1) при том же предположении 3(1 е С1. В работах Кальдерона [35] и Стейна [41] решалась задача о продолжении функций при 3(1 € 1Лр1. При отдельных специальных значениях параметров известны необходимые и достаточные условия продолжения, например при в = 2,; = 2 и / = 1, такие условия для односвязных областей получены Водопьяновым С.К., Гольдштейном В.М., Латфули-ным Т.Г. [15].
Простейшим из известных способов продолжения является продолжение по Хестенсу [33]. Приведем здесь пример конструкции оператора Хестенса для областей ЗП € С1.

Условия на числа а4,Ь4 позволяют склеить функции { и Т/ и их производные до порядка £ - 1 включительно. Поэтому Т/ є И^(ЯП).
Метод Хестенса применим для пространств <р< +оо. Получаемый при этом оператор зависит от порядка дифференцирования.
Оператор продолжения (3) был модифицирован Сили [40] и результирующий оператор уже не зависит от порядка дифференцирования I. Пусть П = {(х,х„): г є Яп~1,хп > 0}. Оператор задаётся следующей системой

Лалее в данной работе для получения оценок норм операторов продолжения широко используются операторы продолжения, построенные в работах Буренкова В.И. [7], Стейна И.М. [41] и Митягина Б.М. [26].
Предметом исследования настоящей диссертации является оценка минимальной нормы операторов продолжения Т, для пространств

В главе I выводится двусторонняя оценка нормы операторов продолжения минимальной среди норм всех операторов продолжения. Глава JI содержит оценки сверху минимальной нормы операторов продолжения, где ин-финум берётся по множеству операторов продолжения не зависящих от порядка дифференцирования.
Первый цикл работ по оценкам минимальных норм операторов продолжения для пространств Соболева появился 1978-79х годах в работах Мих-лина С.Г. В [24] исследуется минимальная норма оператора продолжения с дополнительным условием равенства нулю продолженной функции на границе объемлющего множества fli

Михлиным был найден подход к вычислению значений наименьшей постоянной оператора продолжения Т для случая продолжения функций

Лемма 12. Существует число Са > 0 такое, что для любых п,( е N существует последовательность неотрицательных функций е С“(Я"), те 2, т > т0 (зависящих от т,п,1,у>), удовлетворяющих следующим условиям: