Гармонический анализ периодических на бесконечности функций

• Автор: Струкова, Ирина Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 100 с.

Содержание
Обозначения
Введение
Глава 1. Общие понятия
1. Локально компактные группы
2. Банаховы алгебры и С*—алгебры
3. Банаховы Л1 (С)—модули и их свойства
4. Преобразование Фурье, спектр Берлинга и его свойства,
существенный спектр
Глава 2. Классические вопросы теории рядов Фурье
периодических на бесконечности функций
1. Основные определения
2. О гармоническом анализе периодических векторов и
операторов
3. Доказательства основных теорем
Глава 3. Периодические на бесконечности решения
разностных и дифференциальных уравнений
Глава 4. Спектры алгебр медленно меняющихся и периодических на бесконечности функций и банаховы пределы
1. Определение банахова предела на коммутативной
С*—алгебре с единицей
2. Банаховы пределы на алгебрах функций
3. Банаховы пределы на фактор-алгебрах
4. Спектры банаховых алгебр С^>0О(К) и С31<00(М+, К) . . .
5. Спектры банаховых алгебр Сш>ос(К) и СШ}00(Н+, К)
Глава 5. Вопросы теории рядов Фурье периодических
на бесконечности функций на

1. Основные обозначения и определения
2. О гармоническом анализе периодических векторов и операторов
3. Доказательства основных теорем
Литература

Обозначения
N - множество натуральных чисел;
Z - группа целых чисел;
Ж - поле вещественных чисел;
Ж+ = [0; +оо) - множество неотрицательных вещественных чисел;
J - один из промежутков R+, М;
С - поле комплексных чисел;
Т = {Л G С : |А| = 1} - единичная окружность (абелева группа комплексных чисел, модуль которых равен единице);
X - комплексное банахово пространство;
Нот (X, Y) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y;
End X - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;
I - тождественный оператор; о (В) - спектр оператора В;
G - локально компактная абелева группа;
G - двойственная локально компактная абелева группа непрерывных унитарных характеров группы G;
Т : G —> End X - представление локально компактной абелевой группы G операторами из End X;
LP(G,X), р € [1,оо), - банахово пространство определенных на локально компактной абелевой группе G измеримых по Бохнеру относительно меры Хаара на G (классов) функций со значениями в банаховом пространстве X, суммируемых со степенью р (с отождествлением классов эквивалентности), с нормой ||ж||р = I J \x(g)\pxdg

Отметим, что канонические коэффициенты Фурье периодической на бесконечности функции могут сходиться к нулю сколь угодно медленно. Далее приведен соответствующий пример.
Пример 2.1. Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию ip : R —> R такую, что suppy? С [0,1] и ) = 1. Возьмем произвольную числовую последовательность (ап), п > 1, со свойством lim ап = 0. Далее построим последовательность функций
п->оо
(х„) из с непересекающимися носителями вида:
Xi(t) = <
)) > і Є [2ТО, 2т + ln(m + 2)], m > 0,
, t£ U [2m,2m + ln(m + 2)];

anxі (t — (n — 1) ln(n + 2)) , t > 2n,
0 , t E [0,2n), n > 2.

= q„, n > 1, и ряд £n(0em4 равномер-

но сходится к некоторой функции а; периода 2п. Этот ряд является обобщенным рядом Фурье для х (но не является каноническим). Ясно, что \хД\ = ап, п > 1, и, ввиду произвольности выбора последовательности (а„) со свойством lim ап = 0, получаем, что коэф-

фициенты Фурье функций из Сгтг.оДЕ) могут сколь угодно медленно сходиться к нулю.
Теорема 2.2. (теорема аппроксимации) Для любой функции х Є СДоДЛ, X) существует последовательность функций (ж°) из Cq(S,X) татя, что
lim sup |jm(t) — V'' (l ^-Л
n-foo tef 11 w k^n n + lj
xk(t)el l t -x°n(t)\x = 0,
где xk, k Є Z, - канонические коэффициенты Фурье функции х.