Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов

• Автор: Семин, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение
1 О некоторых обратных задачах спектрального анализа
1.1 Об обратной задаче спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений
1.2 Теорема о единственности решения обратной задачи спектрального анализа для оператора Гегенбауэра с финитным потенциалом
2 Свойства некоторых дифференциальных операторов
и их решений
2.1 Приближенные формулы регуляризованных следов
2.2 Собственные функции оператора Лапласа
2.3 Ортогональность собственных функций оператора Лапласа, заданного смешанными граничными условиями на равнобедренном прямоугольном треугольнике. Явный вид ядра резольвенты оператора Лапласа
2.4 Идентификация смешанных краевых условий для оператора Лапласа в треугольной области
Заключение

Введение.
Настоящая диссертация посвящена исследованию некоторых актуальных задач спектральной теории линейных операторов в гильбертовых пространствах: обратной спектральной задаче, теории регуляризованных следов, получению явного вида функций Грина для важных конкретных краевых задач математической физики.
Теория операторов охватывает обширную часть анализа, имеет многочисленные применения в прикладных вопросах и постоянно развивается. Спектральный анализ, развитый первоначально для интегральных операторов с симметрическим ядром, определенным и непрерывным в некоторой ограниченной области, был затем в рамках общей теории операторов распространен на многие другие типы операторов. Такое распространение повлекло существенное расширение и усложнение методов спектрально-
го анализа.
Большая часть наших исследований посвящена дифференциальным операторам. Теории дифференциальных операторов посвящены многочисленные работы и монографии, из которых в соответствии с задачами, рассмотренными в диссертации, выделим наиболее известные [28, 35, 48, 38, 14, 29, 3, 23, 27].
Первым результатом в спектральной теории обратных задач была следующая теорема единственности В. А. Амбарцумяна [1]:
Пусть {Ап}о ~ собственные числа краевой задачи
-у" + д(> )у = Ху, у'{ 0) = у'{ тг) = О,
где у(х) - действительная непрерывная функция. Если п — п2 для всех п, то <7(ж) = 0.
Затем Г. Борг [7] показал, что результат Амбарцумяна является исключением, и одного спектра для восстановления кравеаой задачи недостаточно. Он решил задачу об однозначном определении потенциала и коэффициентов двух пар краевых условий оператора типа Штурма-

Теорема 2. Пусть
{2/п(?1)(я), АпЫ}“! и {Уп(д2){х),пЫ}™
- фундаментальные системы функций двух уравнений вида (1.1) с разными потенциалами дх(ж) и д2(ж). Предположим, что вещественные функции <71 (ж), 52(ж) € Тоо(0,7г) удовлетворяют условиям

J(у{х) - Я2{рс))дх = 0; (1.16)

91(7г-ж) -д2(тг-ж) = ?! (ж) -д2(ж), /жб(0,7г) (1.17)
7г/2

У" / |у8тпж7п(д1)(ж)+7п(д2)(ж)+(-1)и“17п(д1)(тг-ж)+ 71=1 о
+ (_1)17п(д2)(7Г - ж)) + /тг7«(д,1)(ж)7п(92)(ж) +
+/7Г7п(9і)(7Г - ж)7п(д2)(тг - ж)
(ІЖ < 1,
(1.18)
здесь 7п( также выполнено равенство
УпІУїШ УпІЯг)(0) УпЫ(°) УпЫ(О)
Уп(ді)(тг) гмЫМ
у'Ляі)(жг) гЫ(тг)
, 77. = 1, ОО,
(1.19)
Тогда если Лп(д2) = Ап(д 1), тг = 1,оо; то <71 (ж) = д2(ж) почти всюду на [0,7г].