Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами

• Автор: Шишкин, Андрей Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Армавир
• Количество страниц: 209 с.

Глава 1. Теорема двойственности

1.1 О структуре двойственных переходов

1.2 Схема двойственности

1.3 7г-симметричные множества и 7г-симметричные функции

1.4 Спектральный синтез

1.5 Локальное описание

1.6 Теорема двойственности

Глава 2. Локальное описание. Теорема редукции

2.1 Суть и контуры доказательства теоремы редукции

2.2 Симметричные многочлены

2.3 Симметричные функции

2.4 О представлениях симметричных функций
2.5 Теорема редукции
Глава 3. Локальное описание. Критерий обильности
3.1 Устойчивость, насыщенность, обильность
3.2 Критерий обильности
3.3 Обильные подмодули
Глава 4. Спектральный синтез
4.1 Мотивация
4.2 7Г-симметризация и я-свертка
4.3 Однородные уравнения типа свертки
4.4 Спектральный синтез
Список литературы

1. Пусть Н — произвольное локально выпуклое пространство, А : Н Н — линейный непрерывный оператор. Подпространство У С Н называется инвариантным относительно оператора А, если АШ С IV. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому инвариантному относительно оператора А (далее, часто, просто инвариантному или Л-инвариантному) подпространству У С Н состоит в описании этого подпространства, например, в терминах корневых подпространств оператора А. Корневым подпространством оператора А, отвечающим собственному значению Л € С, называется непустое подпространство
{х Е Н : (А — Х)пх = 0, п £ К}.
Элементы этого подпространства принято называть корневыми. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора А подпространство IV С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора А, лежащих в И7, совпадает с И7. Задача спектрального синтеза для оператора А состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез.
Из элементарной линейной алгебры известно, что если Н — конечномерное пространство, то любое инвариантное подпространство является прямой суммой конечного множества корневых подпространств. Из известной теоремы Гильберта - Шмидта о спектральном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве (Гильберт, Шмидт - пространство I/2, Л. Нейман - сепарабельное гильбертово пространство [75], И. Реллих - общий случай [77]) вытекает, что любое инвари-

антное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетного множества корневых подпространств. Этим столь общие примеры исчерпываются. Известно, что уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабельном гильбертовом пространстве, есть такие, которые не имеют ни одного корневого элемента. Поэтому понятно, что дальнейшие исследования по спектральному синтезу связаны с изучением конкретных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.
Пусть И — односвязная область в С; Н = Я(О) — пространство функций, аналитических в И, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; 7) : Н —> Н — оператор дифференцирования. Инвариантные подпространства У С Я оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора В в комплексной области представляет собой перенос на ситуацию аналитических функций известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [70]. Вместе с тем, сравнение результатов по спектральному синтезу в комплексной области с известными фактами гармонического синтеза на прямой обнаруживает лишь частичную аналогию.
Впервые задача спектрального синтеза для оператора И была сформулирована в 1947 г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [80]. Указанная монография содержит первый результат по спектральному синтезу в комплексной области: при условии О = С любое замкнутое

йл'(г)едг(г) является корневым элементом системы операторов п(Б) и при этом 8м(г)ем(г) €
Инвариантное относительно системы операторов 7г(.0) подпространство IV С Ш является инвариантным относительно оператора г(Б). Следовательно, по отношению к подпространству IV можно говорить и о задаче спектрального синтеза относительно оператора г (Б). При этом из утверждений 1) и 2) вытекает
Предложение 1.4.2. Замкнутое инвариантное (относительно системы операторов к{Б)) подпространство Ж С В допускает спектральный синтез относительно системы операторов к{Б) тогда и только тогда, когда оно допускает спектральный синтез относительно оператора г (Б).
4. Спектральный синтез и индуктивное описание. Выберем А 6 Л и обозначим Мд множество всех комплексных функций на Ъ с компактными носителями. Пусть —
последовательность компактов в Ъ со свойствами:
д, С с/а,2 С ... С Жд, и ф,2 и ... — Жд;
Мд,* — множество всех комплексных функций на Жд, носители которых лежат в с?дд.. Наделяем Мд^ топологией, порождаемой обычной эир-нормой
1М1 =аир|а|,

а Мд топологией индуктивного предела пространств Мдд. относительно вполне непрерывных вложений Мдд. —> Мд,*+1
Как строгий индуктивный предел банаховых пространств, Мд - полное [37, Гл. VII, предложение 3], бочечное [37, Гл. V, предложение 6] и борнологическое [37, Гл. V, предложение 8, следствие]. Кроме того, каждое ограниченное множество в Мд пред-