Спектральный анализ двух несамосопряженных краевых задач механики жидкости и газа

• Автор: Степин, Станислав Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1991
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

ЧАСТЬ I. Несамосопряженная задача, описывающая вертикальную структуру колебаний атмосферы § I. Постановка краевой задачи, моделирующей колебания
атмосферы; энергетическая форма (о
§ 2. Собственные значения краевой задачи (Но) -(/.*2.):
вещественность и простота
§ 3. Операторный пучок задачи (<2-1)- С-2-1) базисность системы собственных и присоединенных элементов
ЧАСТЬ II. Краевые задачи, моделирующие малые колебания капиллярной вязкой жидкости в областях с разделением переменных
§ 4. Постановка задачи о малых колебаниях капиллярной
вязкой жидкости
§ 5. Модельная скалярная задача
§ 6. Собственные значения векторной краевой
задачи (Ч- О - С V. 1) в кольце
§ 7. Шаровой слой капиллярной вязкой жидкости;
спектр частот нормальных колебаний
ЛИТЕРАТУРА

Современные математические исследования по механике сплошной среды характеризуются активным использованием методов функционального анализа и, в частности спектральной теории.
В числе основных направлений таких исследований - изучение свойств нормальных колебаний и спектров их частот. Среди основополагающих в этой области отметим работы Н.Г.Аскерова,С.Г.Крейна и Г.И.Лаптева .Л ] , А.Г.Костюченко и М.Б.Оразова М ; изложению результатов последних лет посвящен ряд монографий и обзоров /см. [ 3 ] и имеющуюся там библиографию/.
Оказывается, что целый класс задач механики сплошной среды сводится к рассмотрению несамосопряженных краевых задач на собственные значения. В связи с исследованием устойчивости колебаний оеоьое значение имеют вопросы о числе невещественных собственных значений и полноте системы собственных функций таких задач. На некоторые из них удается ответить с помощью техники, основанной на изучении энергетических Форм /квадратичной формы кинетической энергии, формы скорости диссипации энергии/ и применении теории операторных пучков.
В диссертации рассмотрены две несамосопряженные краевые задачи на собственные значения, возникающие из механики жидкости и газа. Использование упомянутого подхода позволяет выяснить структуру спектра и установить свойства соответствующих колебательных режимов.
Содержание первой части составляет спектральный анализ краевой задачи, описывающей вертикальную структуру малых

колебаний атмосферы /газовой среды, заполняющей полупространство/ относительно положения равновесия. Случай атмосферы конечной высоты был изучен ранее Л.А.Диким ]
В § I приводится постановка задачи о малых колебаниях и изложено сведение её к сингулярной несамоеопряженной краевой задаче на собственные значения:
7 "(х) +[-# - А + = 0 М
^'(0) -+ ^ = о а)
рассматриваемой на полуоси Г °, °° ) с условием затухания на бесконечности
—* о при ос —* ОО . (ъ)
Здееь - спектральный параметр, к> ог) ^ - параметры
задачи; предполагается, что функция И > О начиная с некоторого значения аргумента неограниченно и монотонно растет,
Н
уЗ - /а?-<) <} + <эе^ > О - ограничена. Далее в § I
вводится сг

= **[// Н(*)-Л)у+ ^

исходной задаче (л)-Сл- з) заметим, что двукратная полнота /и базисноеть/ в У системы корневых векторов эквивалентна двукратной полноте /соотв. базисности/ в собственных и присоединенных функций задачи Последнее означает, что система

где - собственная Функция задачи Гг*)-61. V с собствен-

ным значением ^ - присоединенная Функция, отвечающая собственному значению 4 1У > полна в и образует там базис. Таким образом, справедлива
Теорема 8. Система собственных и присоединенных Функций задачи &./)- Ґс?.3) обладает свойством двукратной полноты и базисности в гильбертовом пространстве с нормой