Упорядоченные пары линейных операторов и задача Коши для уравнения Ax'(t)+Bx(t)=0 в банаховом пространстве

• Автор: Радбель, Наталья Исааковна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Донецк
• Количество страниц: 134 c. : ил

ГЛАВА I. Пучки замкнутых линейных операторов.

§1. Резольвента, спектр. Теорема о разложении

§2. Изолированные особые точки $'(м) спектра линейного

операторного пучка

§3. Корневые подпространства и нормальные собственные числа

линейного пучка операторов

ГЛАВА II. Задача Коши для уравнения Аос '(■£) + 3х(-£) — О с парой замкнутых линейных операторов.

§1. Связь резольвенты пучка с решениями уравнения

А.ОС '(і)+Ь^(^)— О. Нетривиальность начального многообразия

§2. / - равномерно корректная и диссипативная задача

Коши
ГЛАВАШ. Симметрические и диссипативные пары линейных операторов и их расширения.
§1. Линейные отношения и линейные операторные пучки
§2. Аналитическое продолжение А -решений задачи Коши
§3. Примеры
ДОПОЛНЕНИЕ. Некоторые задачи, приводящие к уравнению вида А х'(*) +бх(£) •
§1. Задача отражения сигналов от бесконечной дискретной
структуры

§2. Задача об отражении от конечного отрезка "обобщенной
двухпроводной линии"
Ж ТЕРАТУРА

Хорошо известно, что многие задачи математической физики приводят к изучению задачи Коши для уравнения х Toc(t)=0 с неограниченным оператором Т в банаховом пространстве. В конце сороковых - начале пятидесятых годов основы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве были заложены в работах Э.Хилле, К.Иосида, Р.Филлипса, Т.Като. Изучением задачи Коши и связанными с нею вопросами (существования и единственности решения, построения решений ЗК с помощью обратного преобразования Лапласа; связи разрешимости, единственности и корректности; равномерной корректности и диссипативности, описания множеств корректности и равномерной корректности и др.) занимались В.Фелдер, И.Миядера, С.Агмон, Л.Ниренберг, С.Г.Крейн, П.Е.Соболевский, В.Э.Лянце, Ю.И.Любич, С.Я.Якубов и др. £12, 13, 16, 17, 33, 34, 37, 38]
Задачи анализа и синтеза различных линейных систем (электромеханических цепей, периодических структур, моделей неоднородных сред), часто сводятся к нахождению вектор-функций ^(-6) > f(i) , определяемых по заданной функции У~(£) из дифференциальных уравнений с постоянными вырожденными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах:
А f'A) +5f(t) =/>ТУ №
f(i) = К у А)* AfA) (2)
В дополнении диссертации показано, что к уравнениям вида (1-2) приводит задача отражения сигналов от бесконечной дискретной структуры, электрическая модель которой получается, если в дискретной модели длинной линии каждый элемент заменить

в конечномерном пространстве , „ _.я
Поскольку Л.о. { X' , то из полноты системы корневых векторов3^ следует плотность начального многообразия задачи Коши (ЗК).
В случае детерминированности ЗК Дб7 для уравнения (2.1.1) соотношение х(0) - Х(£) задает полугруппу операторов
с областью определения I . Понятие нормального решения, нормальной ЗК, корректной, равномерно корректной и диссипативной для уравнения (2.1.1) вводятся так ке как в /161 для уравнения х '(±) - Тх (-£)
Если ЗК для уравнения (2.1.1) корректна ^6*277 и система корневых векторов пучка полна в X , то, из вышесказанного следует, что эволюционный оператор определен на плотном в
X линеале I , причем
ИХ Хо11 ^ 11ихн/х°1/, 2-^7,
Такая задача является предельной для задач в конечномерных пространствах: всякое решение х(£) уравнения (2.1.1) есть предел (ехрХАп д«Хх,о) решений уравнений
(2.1.3) с начальными условиями ЗСпо такими, что -&?пЗРис, ~Х{0) Если, сверх того X* системы подпространств образуют базис в X » X соответственно, то всякое решение уравнения (2.1.1) с начальным вектором 0Со дается формулой
оо Д-1 г, /_ »о
Х(£) =- ё П * Хп0 (2.1.4)

*) Классы соответствующих пучков ограниченных и неограниченных операторов рассмотрены М.Б.Келдышем и другими авторами /"5,97.