Устойчивость классов многомерных голоморфных отображений

• Автор: Копылов, Анатолий Павлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 268 c. : ил

ШЩДЕНИЕ

Глава I. КОНЦЕПЦИЯ Ь -УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 1.1. Основные классы отображений, Функционалы

глобальной близости

§ 1.2. Функционалы локальной близости и основные задачи теории ^ -устойчивости классов отображений

§ 1.3. Глобальная близость отображений к заданному

классу и теорема Лиувилля

Глава II. УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 2,1. Формулировка основных результатов и схема

их доказательства

§ 2,2. Локальная близость к голоморфным отображениям и равномерно эллиптическая система =
дифференциальных уравнений в частных производных
§ 2,3. Интегральное представление Мартинелли-Бох-нера и сингулярные интегральные операторы П и Г
§ 2.4. О суммируемости частных цроизводных решений системы ~ = 0
§ 2.5. Равностепенная непрерывность отображений
класса £ С £)
§ 2.6. Глобальная близость отображений класса
оС С £ ) к голоморфным отображениям
Глава III. СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ, БЛИЗКИХ К ГОЛОМОРФНШ
§ 3.1. Устойчивость классов многомерных голоморфных отображений и близость производных
§ 3.2. Характеристика Пономарева плоских квазиконформных отображений и многомерные отображения, близкие к голоморфным

§ 3.3. Свойство Диувилля отображений, близких к голоморфным отображениям
§ 3.4. Продолжение отображений, близких к голоморфным, в пространства высших размерностей и проблема минимальности априорных предположений о суммируемости производных
§ 3.5. Нерасщепляемость системы ••••
§ 3.6. Композиции отображений, близких к голоморфным
Глава IV. ^-УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ И СВОЙСТВА (± + £) -КВАЗИКОНФОРМНЫХ ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОБЛАСТЕЙ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА £
§ 4.1. О граничных значениях отображений полупространства, близких к конформный
§ 4.2, Аппроксимация отображений, близких к конформным, гладкими квазиконформнши отображениями
Глава V. ПЕРСПЕКТИВЫ ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ МНОГОМЕРНЫХ ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§ 5Л. Системы уравнений с частными производными и ^ -устойчивость классов отображений. Одно направление исследований
§ 5.2. Еще раз об априорных условиях, налагаемых на отображения, близкие к классам многомерных голоморфных отображений
§ 5,3. Некоторые другие нерешенные цробдемы
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА

В теории квазиконформных отображений областей на плоскости и в вещественных многомерных пространствах важное место занимает теория устойчивости конформных отображений, развитая (в основном) в работах [1-22] М.А. Лаврентьева,Д.П.Бе-линского и Ю.Г. Решетника. Суть исследований, определяющих построение последней теории, состоит в следующем. Пусть ^ -квазиконформное отображение, локально близкое в каком-плибо смысле к конформным отображениям* Нельзя ли утверждать, что близко к ним и глобально (в этом же смысле или в каком-нибудь ином)?
Для наших целей особое значение имеет теория устойчивости плоских конформных отображений £1, 2, 4, б], центральным утверждением которой является следующая
ТЕОРЕМА А. Существует универсальная функция оо) такая, что при для каждого топологического отображения у с£ 1В> &>
замыкания с£ 8 круга В = В(0^±) с £. на себя, удовлетворяющего условию: сужение уIВ отображения на круг В является решением некоторой системы Бельтрами
(0.1,1)
где II <^11 со ~ 1 (£)} £ £ < 1, и условиям нормировки у (о) =. О и цри выполняется неравенство
1^0} - г| ^ ог± (£)
Замечание 0.1.1. Для функции можно цредьявить
явное значение (см, [4, 5]).

ными случаями теорем 2*1.3 и 2.1.4 из второй главы диссертации» Подчеркнем без подробного обсуждения, что, используя теорему 1.1.1, теорему 1.2.5 можно получить и из теоремы А из введения (традиционными методами теории систем Бельтрами). Заметим также, что до некоторой степени теорему 1.2.5 можно рассматривать как естественное перенесение теоремы А на случай произвольных решений систем Бельтрами.
Таким образом, концепция £-устойчивости классов отображений построена по отношению к теории устойчивости плоских голоморфных отображений, в основе которой лежат теоремы А и 1.2.5, регулярным образом: £-устойчивость класса С^
эквивалентна устойчивости его, понимаемой в духе теории устойчивости Лаврентьева - Белинского [I, 2, 4, б], а отображения, близкие к этому классу, и решения систем Бельтрами с ма*» лыми значениями параметра Л^,1/©о суть одно и то же.
Ш. Построение теории устойчивости класса многомерных голоморфных отображений - главная цель диссертации. Основные факты этой теории излагаются во второй и третьей главах.
1У. Пусть Я - натуральное число, большее либо равное числу 3 , ^ - класс всех отображений с ограниченным искажением в смысле Ю.Г. Решетняка областей пространства в
это же пространство и ^ (в) - его подкласс, состоящий из отображений, искажение которых не превосходит числа 1 -*■ £ 5 ^ О . Другими словами, класс - это класс
всех, вообще говоря, неоднолистных Я -мерных квазиконформных отображений, а ( £) - его подкласс, состоящий из отображений с параметром квазиконформности, ограниченным сверху числом ±+ £ (мы предполагаем, что квазиконформные отобра-жения сохраняют ориентацию пространства 1Я ). Из результа-