Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала

• Автор: Федосеев, Алексей Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 126 с.

Содержание
Введение
1 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала

1.1 Свойства спектральных характеристик

1.2 Теорема единственности решения обратной задачи

1.3 Алгоритм решения обратной задачи

1.4 Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной

задачи
2 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала

2.1 Функция Вейля и ее свойства

2.2 Решение обратной задачи

2.3 Необходимые и достаточным условия разрешимости обратной
задачи
2.4 Случай краевых условий Робина
3 Обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с неинтегрируемой особенностью внутри интервала
3.1 Свойства спектральных характеристик
3.2 Теорема единственности решения обратной задачи
Литература

Введение
Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов с неитегрируемой особенностью лежащей внутри интервала. Исследуются дифференциальные операторы как второго так и высших порядков на полуоси и конечном интервале.
Обратные задачи спектрального анализа являются задачами восстановления операторов по их заданным спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естественных наук и имеют множество приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. В 1967 г. был разработан [1] метод, связанный с использованием обратной задачи, позволяющий решать некоторые важные нелинейные уравнения математической физики, например, уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Буссинеска и другие. Созданный метод обратной задачи вызвал дополнительный интерес к обратным задачам спектрального анализа и в дальнейшем этот метод был использован во многих работах (см. монографии [2-6] и литературу в них). На данный момент теория обратных задач интенсивно развивается благодаря возникновению новых приложений в различных областях естественных и технических наук. Отметим, что сложность решения обратных задач связана во многом с тем, что эти задачи являются существенно нелинейными и в связи с этим в теории обратных задач все еще остается много нерешенных проблем.
Первый результат в теории обратных спектральных задач принадлежит советскому ученому, основателю теоретической астрофизики В. А. Амбарцумяну [7]. Интересен вопрос о том, как он пришел к обратной задачи. В 1926 году Э. Шредингер опубликовал работы [В-12] по волновой

механике. Он показал, что вопрос исследования энергетических уровней системы приводит к решению задач нахождения собственных значений некоторых дифференциальных уравнений. В астрофизике спектральный анализ атомов является одним из основных методов исследования небесных объектов. В.А. Амбарцумян хотел выяснить можно ли по наблюдаемым
спектрам атомов однозначно узнать о строении и состоянии атома, что и
является “обратной” задачей. Оказалось, что решение этой нелинейной задачи в общем случае весьма трудно. Тогда он рассмотрел частный случай: можно ли утверждать, что система собственных частот, характерная для однородной струны, свойственна только ей и однозначно определяет ее среди всех струн? Ему удалось разрешить эту проблему и сформулировать следующий результат [7] для уравнения Штурма-Лиувилля
- у" + = Ху. (1)
Здесь А - спектральный параметр, д(ж), х € (0,7г) - вещественная
интегрируемая функция. В.А. Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями у'{0) = у'(л) = 0 имеет собственные значения Ап = п2, п > 0, то д(х) = 0. Однако этот результат является исключительным - в общем случае задания одного спектра недостаточно для восстановления потенциала д(х). Впоследствии Г. Борг [13] показал, что потенциал д(х) однозначно определяется на конечном отрезке по двум спектрам двух разных краевых задач с общим дифференциальным уравнением и одним общим граничным условием. Н. Левинсон использовал другие спектральные характеристики - спектр и коэффициенты перехода (в настоящее время называющиеся коэффициентами Левинсона). В работе [14] им была доказана теорема единственности восстановления потенциала д(х) по этим спектральным характеристикам.
Важную роль в развитии спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1) на интервале х 6 (0,7г) с граничными условиями
у) - Ну{0) = 0, у'(7Г) + Яу(тг) = 0. (2)

рп+^кЛх) - vl дх*АкАх>A) А=Лп >
(1.85)
где к > 1, и — 0, тП(г — 1. Аналогично обозначим Й(х,А,р), Е)щ[х,А,р), Ап+щ(х, Л), Вп+„4(х, Л) и Рп+и,гы{х), П>1,к> 1, г, ^ = 0,1, заменяя 5(ж, Л) на 5(ж, Л) в веденных обозначениях.
Пусть заданы спектральные данные V := (Л„, Мп}п> краевой задачи С = С{д(х)). Выберем задачу С — С(ф(х)) так, чтобы
Щ — Щ, А = А
Далее нам потребуется следующая теорема [153].
Теорема 1.8 (теорема Римана об устранимой особенности). Пусть го Є С С С и функция /(г) аполитична еб {го}. Следующие условия равносильны
1) / аналитически продолжаема в точку го;
2) f непрерывно продолжаема в точку го;
3) Существуют некоторая окрестность точки го, в которой / ограничена;
5) Точка zq - устранимая особенность /.
Лемма 1.4. При фиксированном х £ [0, a) U (а,Т|, Л = р2, р = в2, О < Im р < С, 0 < Im # < С имеют место следующие оценки

(1.86)
4) Ит(г - г0)/(г) = 0;

±RepRe$>0. (1-87)
Р\в(Р^в + іу