О полноте и других свойствах некоторых классов функциональных систем в пространствах L и E

• Автор: Филиппов, Вадим Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 173 с.

ВВЕДШИЕ
ГЛАВА I СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТОВ
КОТОРЫХ НЕ РАВНЫ НУЛЮ, В ПРОСТРАНСТВАХ Ьр
и Е ^ зо
§ 1.1. Системы представления в пространствах
1»р » 1 < р < ос>
§ 1.2. Примеры полных и неполных систем
в пространствах 1>р
§ 1.3. Об обобщениях системы Фабера-Шаудера в
пространствах Е ^
ГЛАВА 2 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТОВ КОТОРЫХ РАВНЫ НУЛЮ, В ПРОСТРАНСТВАХ
1,р и Еф
§ 2.1. Системы представления в пространствах
1ор , о < р <
§ 2.2. О возмущениях системы Хаара в
пространстве 1л (0,4.)
§ 2.3. Системы функций с образующей, интеграл от которой равен нулю, в пространствах

§ 2.4. Пример неполной ортонормированной системы в 1^2. (0,1), получающейся из сжатий и
сдвигов одной функции
ГЛАВА 3 НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В
ПРОСТРАНСТВАХ Еф
§ 3.1. Критерий существования линейных
непрерывных ненулевых функционалов
в многомерных пространствах
§ 3.2. Свойства систем представления в
пространствах Е. ^ , в которых нет линейных непрерывных ненулевых
функционалов
§ 3.3. Об условиях при которых система
представления из одного функционального пространства является системой представления в других функциональных
пространствах
§ 3.4. Об обобщениях системы Хаара в пространствах Е-Ф , в которых нет линейных непрерывных
ненулевых функционалов
§ 3.5. Системы представления в пространстве почти всюду конечных измеримых функций
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена рассмотрению нескольких, довольно широких, множеств функциональных систем в пространствах Lp ,0 Теорема К.Вейерштрасса о приближении непрерывных на отрезке [а, &] функций алгебраическими многочленами послужила началом интенсивных исследований в области приближения функций. В частности, из этого результата следует, что система алгебраи -ческих многочленов с рациональными коэффициентами является системой представления в пространстве Cta, 63 .
С появлением интеграла Дебега стали актуальны вопросы приближения в пространствах Lp . В первой половине 20 века боль -шую роль в формировании отечественной школы по теории функций сыграли задачи Н.Н.Лузина L1] .В этой связи необходимо отметить результаты А.Н.Колмогорова [2] о рядах Фурье и результаты Д.Е.Меньшова [3,4] о сходимости почти всюду тригонометрических рядов. Пример Д.Е.Меньшова о тригонометрическом нуль-ря -де показал, что представление измеримых функций в вице триго -нометрического ряда в смысле сходимости п.в. неединственно.
С.М.Никольский [ 5] , в частности, рассматривал многомер -ньте алгебраические и тригонометрические полиномы. Рассматривались количественные и качественные оценки приближения суммируемых функций гладкими функциями. Теоремы вложения представлены в [145] , [5] .
— $
Приведем также теорему Витали о покрытии, которой воспользуемся в дальнейшем (см. [99] стр. 232).
ТЕОРЕМА. (Теорема Витали о покрытии).
Пусть /Ц - конечная положительная мера, определенная на борелевских множествах бикомпактного метрического пространства 5 . Если семейство :Г замкнутых множеств покрывает
множество А £ & в смысле Витали, то найдется такая последовательность непересекающихся множеств ) Ги | £ Т, сх>
что А V Г*
имеет меру нуль.
ТЕОРЕМА І.І.І. Предположим, что система
^ ^ 1ь€Л/ ^ , удовлетворяет
свойству (I.1.3) и произвольный ограниченный интервал [ С,с1) с (О, £>) покрывается в смысле Витали семейством

Тогда для произвольного А/ d Ж сис -
тема является системой представления в
L, д Со»
ТЕОРЕМА I.I.2. Пусть система Ккд/ С -CO4Q<4^+O0} _Up< N,
удовлетворяет следующим условиям:
1 —* О., и-> ^ ] 2)* Ф о,
sup <Ги = 1 ?