Некоторые задачи сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре

• Автор: Холикова, Мастона Бобоназаровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 77 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§1. Граничная задача сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряжения аналитического вида коэффициентов на контуре
§2. Задача сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуре
§3. Об одной краевой задаче тории аналитических функций с производной в краевом условий в сингулярном случае
§4. Задача сопряжения аналитических функций с рациональными коэффициентами в сингулярном случае
§5. Краевая задача Гильберта для круга в сингулярном случае
§6. Краевая задача сопряжения с непрерывными коэффициентами в сингулярном случае
§7. Об одной смешанной краевой задачи для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае
Цитированная литература

ВВЕДЕНИЕ
0.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Будет рассматриваться комплексное значение функции точек плоскости (х, у) или гг = х + іу, обозначаемые не только как /(ж, у), но и как /(г).
1. £)+ - односвязная ограниченная область (в частности это круг) с границей Ляпунова А, В~ - внешняя по отношению к области, то есть дополнение £>+ до всей плоскости.
2. - предельные значения на А аналитических в 12і функций, причем для ф~(г) требуется, чтобы ф~{оо) = 0.
3. / - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи.
4. Н{Ь) - класс функций, удовлетворяющих условию Гельдера:
для всех ЧДг Є Ь, причем 0 < А < 1.
5. 5р(5я) - норма в Ц>{Н{Ь)) сингулярного оператора:

Отметим, что для окружности 5г = 1.

0.2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени и особенно за последние годы вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. В настоящее время, этой проблеме посвящено довольно большое количество научных работ (Ф.Д. Гахов, Н.И. Мусхелишвили, Л.Г. Михайлов, B.C. Рогожин, И.Б. Симоненко, Ю.И. Черский, Г.С. Литвинчук, И.Х. Сабитов,
H.H. Юханонов, Н. Усманов). Большую роль здесь сыграли работы
Н.И. Мусхелишвили по теории упругости. В его работах задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.
От вышеуказанных краевых задач, естественно, надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф.Д. Гахова [5].
Наряду с работами по теории упругости большую роль сыграли также работы по гидродинамике М.А. Лаврентьева, М.В. Келдыша, Л.И. Седова и других. При решении практических задач здесь попутно ставились и решались частными методами некоторые краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида.
Трудно перечислить все опубликованные за последние годы работы, связанные, так или иначе с нашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И. Мусхелишвили [11], Ф-Д- Гахова [5] и Л.Г. Михайлова [13].
Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений.
Как известно, основная краевая задача теории функций комплексного

а после представления
Х+(*)

О - а) и1(г - /3) () = ф£(г) - ф2 (*),
1 [ [т - а)-{т - (1т
*И=2Ь
Х+(т) Т-2Г’

вместо краевого условия (2.11) получим
= -*-(*)
Учитывая равенство нулю на бесконечности искомых функций, получим
%т4 - (*0 = —ГГтФ() - Ф2 (*) = Р*-й- 1(г)
X (г) X (*)

ф2 («) = Х+(г) [Рв-й-1(г) + 2»] , ф2 (г) = Х“(-г) [Р»--1(г) - 2" 00] 2_0е+й,
так что
ф£(г) = (г-осУ1(г-!3)"2х+(г) [Р*-а-х) + ф%(г)] ,
Фг(г)=(г|) (тг|)
Ф+Ц) = (г - «2,у И [Р»-й-1(г) + *+(*)] (г - 4)"+
+ [(г) - Т{г)] Сг - с*)-"1 (г - /З)"2,
Ф'М = (гУ (У Х'(Ф~'-р - №)] (г - /3)'.