Непрерывные ε-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами

• Автор: Лившиц, Евгений Давидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

• Оглавление
1 Непрерывные мультипликативные е-выборки в С'[0,1] для приближения нелинейными множествами
1.1 Вспомогательные леммы
1.2 Приближение нелинейными множествами специального вида
1.3 Приближение обобщенными сплайнами
ф 2 Непрерывные г-выборки в С'[0,1] для приближения полиномиальными сплайнами
. 2.1 Аппроксимативные свойства множества полиномиальных
|ЩР сплайнов
2.2 Непрерывные выборки из метрической проекции во множество
линейных сплайнов
2.3 Непрерывные мультипликативные е-выборки во множество линейных сплайнов
2.4 Непрерывные мультипликативные £-выборки во множество по- -
линомиальных сплайнов
3 Непрерывные г-выборки в С[0,1] для приближения рациоф нальными сплайнами
3.1 Случай фиксированных узлов
3.2 Случай нефиксированных узлов
4 Непрерывные и равномерно-непрерывные выборки для приближения ломаными с нефиксированными узлами в £г,[0,1]
4.1 Вспомогательные утверждения
4.2 Функции фиф
4.3 Доказательство теоремы 4
^4.4 Оценки снизу для приближения линейными сплайнами
4.5 Приближение полиномиальными сплайнами в Ьр[0,1]
Литература

Диссертация посвящена исследованию устойчивости оператора почти наилучшего приближения различными невыпуклыми множествами.
Пусть заданы X = (X, || • ||х) — действительное линейное нормированное пространство и его подмножество М. Оператором метрической проекции называется многозначное отображение
где рх{х,М) = шДем ||ж — г\х- Если для любого элемента х £ X множество Рх,м{х) Ф то М называют множеством, существованья; если для любого X Е X множество Рх,м(Х) СОСТОИТ из не более чем одного элемента, то М называют множеством, единственности Если М одновременно является множеством существования и множеством единственности, то говорят, что М — чебышевское множество
Обозначим через РДа, Ъ] множество алгебраических полиномов степени < 1, определенных на [а, Ь], а через Д,Пьт2[а, Ъ] — множество алгебраических рациональных дробей
В качестве линейных нормированных пространств будут рассматриваться стандартные функциональные пространства: С[а, 6] — пространство непрерывных функций на отрезке [а, Ъ] с равномерной нормой и Ьр[а, Ь], 1 < р < оо, — пространство измеримых на [а, 6] функций, для которых конечна норма || • ||„:
В своей классической работе [39] П.Л. Чебышев показал, что для любых <1,7X11,1712 > 0 множества РДО, 1] и Д„ьт2[0,1] являются множествами единственности в пространстве (7[0,1]. Отметим, что вопросы существования во времена П.Л. Чебышева практически не рассматривались. Строгое доказательство того, что РД0,1] и Ртьт,[0,1] являются множествами существования в С[0,1] можно найти в работах Д. Уолша [53] и Н.И. Ахиезера
Рх,м : X Э х {г Є М : ||ж - г\х = рх(х, М)},
П. Кирхбергер [43] доказал, что для любого d > 0 (однозначное) отображение Рс[0,1],^[0,1] непрерывно
Интерес к вопросу непрерывности метрической проекции возобновился в 50-60-х годах 20-го века. Этот вопрос вошел в проблематику геометрической теории приближений, которая в эти годы, благодаря работам Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина, В. Кли, И Зингера, Д. Вулберта, А J1. Гаркави, Л.П. Власова, С Я. Хавинсона, Б Крипке, И. Линденштрауса, П. Морриса, Р.Фелпса, Е.Чини и других, выделилась в самостоятельную ветвь теории приближений (см. обзорные работы [6], [11]. [14])
X. Мэли и Ч. Вицгол [45] и независимо Д.Вулберт [55] показали. ЧТО при 737-1, 7712 > 1 МбТрИЧеСКаЯ ПроеКЦИЯ на множество 1]
(£Ъ[0Д],лт1,т,[0Д](-)) разрывна.
Как было показано Н В. Ефимовым и С Б Стечкиным [15], множество
1], 7772 Д 1, не является чебышевским в пространстве LP[0,1], 1 < р < оо, тем самым естественным образом возникает задача изучения непрерывности (и других видов устойчивости) метрической проекции для нечебышевских множеств. Одной из возможных постановок является вопрос об устойчивости метрической проекции как многозначного отображения. Этой задачей занимались Л П Власов [12]. Е.В Отлман [30], Дж Блат-тер, П. Моррис и Д. Вулберт [41]. В И. Бердышев [7]. B.C. Балаганский [5], A.B. Маринов [24], Д. Ньюмен и X. Шапиро [47], П.В Галкин [13], A.B. Ко-лушов [18], Б. Бьернестал [40] и другие.
Также в геометрической теории приближений возникает интерес к другому многозначному отображению — оператору почти наилучшего приближения (оператору е-проектировашш)
Рх,м '■ X Э х н* {z е М : \х — z\x < рх(ж, М) + е}.
Этот интерес был вызван тем, что в некоторых ситуациях оператор почти наилучшего приближения обладает большей, чем оператор метрического проектирования, устойчивостью. Оператор почти наилучшего приближения исследовался В.И. Бердышевым [8], [9], А.В Мариновым [26], Р. Вегманом [54] и др. Оператор почти наилучшего приближение нашел свое применение в смежных областях математики, например, в теории некорректных задач (см. O.A. Лисковец [22], [23], В.А. Морозов [29]).
Параллельно с этим во второй половине 20-го века в общей топологии начали изучаться выборки из многозначных отображений. Толчком к их исследованию послужила классическая работа Е Майкла [46]. В наши дни это направление продолжает развиваться (см. М ван де Вел [52], Д. Реповш и П.В. Семенов [50]). Его современное состояние излагается в обзорных работах Д. Реповша и П.В. Семенова [31], [49]
Синтез идей геометрической теории приближений и теории Е. Майкла непрерывных выборок привел к новым постановкам задач, изучить устойчиПусть У = 1КГП непрерывное отображение Р . Б х У —» С[0,1] зададим формулой
т-,/ ч Рр{У01 • ■ ■ ! Угщп)
г[Х 1, • . . , XI, уо ут1П) — , . .
Проверим, что множество
ДГ’т2([0,1], Д) = ь = 1тР = Ь(1, т, Б, Б, У)
обладает свойством (*) Заметим, что для любых {х,.. ,х{) е Б и (Уо, ■■■, Утт) выполняется
||Щи щ,т щЛ4г ,#Ии *"*)|
inflS[0,l] Fq{xь • • -,Xl)(xY Существует такое C'(mi) > 0, что для любых (уо ymin)
\Рр(У0, • ■ • 1 Утщ)\ < С (mi) sup уг,
0 поэтому Д^1,т-([0,1], Д) удовлетворяет условию ограниченности (1 4) с N(xlt..., xi) = C(mi) ( inf Fq(xu ... ,xi){x) ) .
-сб[0Д] J
Отметим, что отображения Fp(-) и F(-) линейны по переменным у,... ,ут. Следовательно, по лемме 1 5 множество 0,1], Д) удовлетворяет условию существования выборки по у (1 6)
Докажем, что S удовлетворяет условию связности (1.3). Рассмотрим произвольные положительные сплайны ql,q2 G 1], Д), произвольные
рр2 £ 5”!([0,1],Д) и произвольные «1,0:2 > 0, ап + «2 = 1- Тогда для произвольного х 6 [0,1] выполняется
. рг(х) агр1(х) + а2р2(х) рг(х)
шш —у—г < < max —у—г.
1=1,2 ql[x) aqL[x) + a^q [х) 1=1,2 ql[x)
l_i_ 2
Тогда лежит между р и р на [0,1] и, согласно (2 1), для произвольной / £ С[0,1]
aip1 + a2p2„^ ||х рги
„2 - ~ Д Т
а.q1 + &2Q ?==1>2 ч
Пусть q% = Fq{x, ... ,х), г = 1,2. Предположим, что для некоторого 1 < к < I выполняются равенства Xj = ж] = ж2, 1 < j < к — 1. Пусть Хк £ [minl=i)2 х, тах^хд х]. Тогда в силу монотонности и непрерывности ф найдутся ai,«2 > 0, 04 + «2 = 1, для которых а1ф(х) + а2ф(х2к)